Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Ваня написал на доске трёхзначное число $A$. Петя переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B$. Коля тоже переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C$.

а) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $A> 140$?

б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $440 \leqslant A< 500$?

в) Найдите наибольшее число $A$, меньшее $900$, для которого может быть верным равенство $A = B \cdot C$.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры $1$ и $6$(возможно, только одна из этих цифр).

а) Может ли сумма этих чисел быть равна $173$?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна $109$?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна $1021$?

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся, а суммарно тест писали $9$ учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе $№\,1$ уменьшиться в $10$ раз?

б) Средний балл в школе $№\,1$ уменьшился на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также уменьшился на $10\%$. Мог ли первоначальный средний балл в школе $№\,2$ равняться $7$?

в) Средний балл в школе $№\,1$ уменьшился на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также уменьшился на $10\%$. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе $№\,2$.

В школах $№\,1$ и $№\,2$ учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере $2$ учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе балл за тест был целым числом, причём в школе $№\,1$ средний балл равнялся $18$. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№\,1$ в школу $№\,2$, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе $№\,1$ вырос на $10\%$, средний балл в школе $№\,2$ также вырос на $10\%$.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе $№\,1$ изначально?
б) В школе $№\,1$ все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе $№\,2$ писали тест более $10$ учащихся и после перехода одного учащегося в эту школу и пересчета баллов средний балл в школе $№\,2$ также вырос на $10\%$. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе $№\,2$ изначально?

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $20$ тонн или $60$ тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет $75 \%$ от общего количества контейнеров.
а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $80 \%$ от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить $40 \%$ от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?