Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В классе больше $10$, но не больше $26$ учащихся, а доля девочек не превышает $46\%$.
а) Может ли в этом классе быть $9$ девочек?
б) Может ли доля девочек составить $55\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

На доске написано $10$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $5$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $15$.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться $3$?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться $11$?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

На доске написано $10$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $6$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $12$.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться $14$?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться $8{,}4$?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

На доске написано $10$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $8$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $16$.

а) Может ли наибольшее из этих десяти чисел равняться $18$?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться $11{,}2$?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $5$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $3$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $6$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?