Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} x\leq2a+6,\\ 6x\geq x^2+a^2,\\ x+a>0 \end{cases}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1;2]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} ax\geq2,\\ \sqrt{x-1}>a,\\ 3x\leq2a+11 \end{cases}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]$.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на $3$.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число $300$?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число $151$?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от $100$ до $600$ включительно?

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.

а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной $16$ см на куски длиной $1$ см?

б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной $100$ см на куски длиной $1$ см?

в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной $300$ см на куски длиной $1$ см?

Есть три коробки: в первой коробке $64$ камня, во второй — $77$, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться $64$ камня, во второй — $59$, а в третьей — $18$?

б) Мог ли в третьей коробке оказаться $141$ камень?

в) В первой коробке оказался $1$ камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке? $325$