Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Есть четыре коробки: в первой коробке $101$ камень, во второй — $102$, в третьей — $103$, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться $97$ камней, во второй — $102$, в третьей — $103$, а в четвёртой — $4$?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться $306$ камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

На доске написано $30$ различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру $7$. Сумма написанных чисел равна $810$.

а) Может ли на доске быть ровно $24$ чётных числа?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на $7$?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $7$, может быть на доске?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $3$, к каждому числу из второй группы — цифру $7$, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $8$ раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $17$ раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $6$, к каждому числу из второй группы — цифру $9$, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $9$ раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $19$ раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Для чисел $A$ и $B$, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют $S$ — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A = 123$ и $B = 579$ получается сумма $S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 9 = 46$.

а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 100$?

б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S = 400$?

в) Верно ли, что любое натуральное число от $1$ до $260$ является суммой $S$ для некоторых четырехзначных чисел $A$ и $B$?