Два спутника массами \(m\) и \(4m\) соответственно движутся вокруг Земли. Первый спутник находится от поверхности Земли на расстоянии, равном трем ее радиусам, второй – четырем радиусам. Определите, во сколько раз сила взаимодействия Земли со вторым спутником больше, чем сила взаимодействия Земли с первым спутником.

В данной задаче важно учесть, что в условии дано расстояние от поверхности Земли, значит, чтобы найти расстояние между центрами масс спутника и Земли, нужно прибавить еще один радиус Земли. Расстояние от спутника массой \(m\) до центра Земли: \(r_1=4R\) Расстояние от спутника массой \(4m\) до центра Земли: \(r_2=5R\) Сила взаимодействия тел: \(F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\) Тогда отношение сил взаимодействия Земли со вторым и первым спутниками: \(\frac{F_2}{F_1}=\frac{G\frac{4mM}{(5R)^2}}{G\frac{mM}{(4R)^2}}=\frac{G \cdot 4 \cdot m \cdot M \cdot 16 \cdot R^2}{G \cdot m \cdot M \cdot 25 \cdot R^2}=\frac{4\cdot 16}{25}=2,56\) Ответ: 2,56

Во сколько раз масса неизвестной планеты больше массы Земли, если сила притяжения планеты к Солнцу в \(11,8\) раза меньше, чем сила притяжения Земли к Солнцу, а расстояние между Солнцем и планетой в \(5,2\) раза больше, чем расстояние между Солнцем и Землей? Обе планеты движутся вокруг Солнца по окружности. Ответ округлите до сотых.

\(F_{ПС}\) - сила притяжения неизвестной планеты к Солнцу \(F_{ЗС}\) - сила притяжения Земли к Солнцу \(\frac{F_{ЗС}}{F_{ПС}}=11,8\) \(R_{ПС}\) - расстояние между Солнцем и неизвестной планетой \(R_{ЗС}\) - расстояние между Солнцем и Землей \(\frac{R_{ПС}}{R_{ЗС}}=5,2\) Сила взаимодействия тел: \(F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\) Тогда отношение сил взаимодействия Солнца с каждой из планет: \(\frac{F_{ЗС}}{F_{ПС}}=\frac{G\frac{m_ЗM}{R^2_{ЗС}}}{G\frac{m_ПM}{R^2_{ПС}}}=\frac{m_З}{m_П}\left(\frac{R_{ПС}}{R_{ЗС}}\right)^2\Rightarrow \frac{m_П}{m_З}=\left(\frac{R_{ЗС}}{R_{ПС}}\right)^2\cdot \frac{F_{ПС}}{F_{ЗС}}=5,2^2\cdot \frac{1}{11,8}=2,29\) Ответ: 2,29

Зависимость модуля силы \(F\) взаимодействия точечного тела массой \(60\) кг и некоторой планеты от расстояния \(r\) между ними изображена на графике ниже. Радиус планеты \(6371\) км. Найдите величину ускорения свободного падения на расстоянии от центра планеты, равном двум радиусам этой планеты. Ответ дайте в м/с\(^2\).

По формуле силы тяжести: \(F_2=mg_2\Rightarrow g_2=\frac{F_2}{m}=\frac{30}{60}=0,5~м/с^2\) Ответ: 0,5

Деревянный брусок массой \(m=0,3\) кг покоится на деревянной наклонной плоскости, образующей угол \(\alpha=30^{\circ}\) с горизонтом. Какова сила трения \(F_{тр}\), действующая на брусок? Ответ дайте в Н.

Расставим силы, действующие на брусок. Так как брусок покоится, то делаем вывод, что проекция силы тяжести уравновешивает силу трения, значит, если спроецировать силу тяжести на ось \(x\), которая будет параллельна наклонной плоскости, она будет равна силе трения: \(F_{тр} = mg\sin\alpha = 0,3\cdot 10\cdot 0,5 = 1,5 ~ Н\) Ответ: 1,5 Н

Брусок покоится на наклонной плоскости, образующей угол \(\alpha = 30^{\circ}\) с горизонтом. Сила трения покоя равна \(F_{тр} = 0,5\) Н. Определите силу тяжести \(mg\), действующую на брусок. Ответ дайте в Н.

Расставим силы, действующие на брусок, так как брусок покоится, то делаем вывод, что проекция силы тяжести уравновешивает силу трения, значит, если спроецировать силу тяжести на ось \(x\), которая будет параллельна наклонной плоскости, она будет равна силе трения: \(F_{тр} = mg\sin\alpha\) Выразим \(mg\): \(mg = \frac{ F_{тр}}{\sin\alpha} = \frac{0,5}{0,5} = 1 ~ Н\) Ответ: 1 Н