Две планеты с одинаковыми массами обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. Для первой из них сила притяжения к звезде в \(36\) раз меньше, чем для второй. Чему равно отношение \(\frac{R_1}{R_2}\) радиусов орбит первой и второй планет?

По формуле всемирного тяготения: \(F_1 = G\frac{mM}{R_1^2}\) \(F_2 = G\frac{mM}{R_2^2}\) Отношение сил: \(\frac{F_1}{F_2}=\frac{1}{36};~36F_1=F_2\) \(\frac{36GmM}{R_1^2}=\frac{GmM}{R_2^2}\) \(36R_2^2=R_1^2\) \(6R_2=R_1\) Отношение радиусов: \(\frac{R_1}{R_2}=6\) Ответ: 6

Кубик массой \(m = 1\) кг покоится на гладком горизонтальном столе, сжатый с боков пружинами (см. рисунок). Первая пружина сжата на \(x_1 = 4\) см, а вторая сжата на \(x_2 = 3\) см. Жёсткость второй пружины \(k_2 = 600\) Н/м. Чему равна жесткость первой пружины \(k_1\) ? Ответ дайте в Н/м.

Исходя из условия, делаем вывод, что силы сжатия каждой пружины равны, тогда по закону Гука: \(|F_{упр}| = kx\) Так как пружины действуют на кубик с двух противоположных сторон, тем самым компенсируя друг друга, запишем равенство: \(|F_{упр 1}|=|F_{упр 2}|\\ k_1x_1 =| F_{упр 2}|\) Выразим \(k_1\) и подставим числовые значения: \(k_1 = \frac{|F_{упр 2}|}{x_1} = \frac{k_2x_2}{x_1}= \frac{12}{0,04} = 450~ Н/м\) Ответ: 450 Н/м

Во сколько раз масса Юпитера \(M_ю\) больше массы Земли \(M_з\), если сила притяжения Юпитера к Солнцу \(F_ю\) в \(11,8\) раз больше, чем сила притяжения Земли к Солнцу \(F_з\), а расстояние между Юпитером и Солнцем \(R_ю\) в \(5,2\) раз больше, чем расстояние между Солнцем и Землёй \(R_з\)? Считать, что обе планеты движутся вокруг Солнца по окружности. Ответ округлите до целых.

Сила притяжения Юпитера к Солнцу: \(F_{юс}=\frac{GM_юM_с}{R_ю^2}\) Сила притяжения Земли к Солнцу: \(F_{зс}=\frac{GM_зM_с}{R_з^2}\) Поделим второе уравнение на первое: \(\frac{F_{юс}}{F_{зс}}=\frac{M_ю}{M_з}\cdot \frac{R_з^2}{R_ю^2}\) Отношение массы Юпитера к Массе Земли: \(\frac{M_ю}{M_з}=\frac{F_{юс}}{F_{зс}}\cdot \left ( \frac{R_ю}{R_з} \right )^2=11,8\cdot 5,2^2=319,072\approx 319\) Ответ: 319

Вокруг Марса вращаются два естественных спутника – Деймос и Фобос. Известно, что масса Деймоса в \(5\) раз меньше Фобоса, а диаметр его орбиты в \(2,5\) раза больше диаметра орбиты Фобоса. Определите, во сколько раз сила притяжения между Марсом и Фобосом больше силы притяжения между Марсом и Деймосом.

Из условия: \(\frac{M_ф}{M_д}=5;\\ \frac{D_д}{D_a}=\frac{2R_д}{2R_ф}=\frac{R_д}{R_ф}=2,5,\) где \(M_ф\), \(M_д\)- масса Фобоса и Деймоса соответственно; \(D_ф, D_д\) - диаметр орбиты Фобоса и Деймоса соответственно. По закону всемирного тяготения: \(F=G\frac{M_1M_2}{R^2}\) Тогда отношение сил притяжения между Марсом и Фобосом и Марсом и Деймосом: \(\frac{F_ф}{F_д}=\frac{G\frac{M_м \cdot M_ф}{{R_ф}^2}}{G\frac{M_м \cdot M_д}{{R_д}^2}}=\frac{M_ф}{M_д}\cdot \frac{{R_д}^2}{{R_ф}^2}=5\cdot 2,5^2=31,25\) Ответ: 31,25

Вокруг планеты вращаются два искусственных спутника. Радиус орбиты первого спутника в \(16\) раз меньше радиуса орбиты второго, а масса второго спутника в \(5\) раз больше массы первого. Во сколько раз скорость второго спутника меньше скорости первого?

Отношение радиусов орбит: \(R_1=\frac{R_2}{16}\) По второму закону Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную вектору скорости: \(ma_ц=G\frac{mM}{R^2}\) Отсюда получается, что масса спутника слева и справа сокращается, следовательно, скорость спутника не зависит от его массы. Центростремительное ускорение: \(a_ц=\frac{v^2}{R}\\ \frac{v^2}{R}=G\frac{M}{R^2}\Rightarrow v=\sqrt{\frac{GM}{R}}\) Тогда отношение скоростей спутников: \(\frac{v_2}{v_1}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{R_2}}}{\sqrt{\frac{GM}{R_1}}}=\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}=\sqrt{\frac{R_2}{16R_2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{v_1}{v_2}=4\) Ответ: 4