Мальчик массой \(50\) кг находится на тележке массой \(50\) кг, движущейся по гладкой горизонтальной дороге со скоростью \(1\) м/с. Каким станет модуль скорости тележки, если мальчик спрыгнет с неё со скоростью \(2\) м/с относительно дороги в направлении, противоположном первоначальному направлению движения тележки?

Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось, сонаправленную с начальной скоростью тележки и мальчика: \((m+M)v_0=Mv_T-mv_M\) Отсюда получаем: \(v_T=\frac{(m+M)v_0+mv_M}{M}=\frac{(50+50)\cdot 1 +50\cdot 2}{50}=4 ~м/с\) Ответ: 4 м/с Видеоразбор: https://www.youtube.com/embed/CCaibv406Tc?start=2039

Установка, состоящая из горизонтально подвешенного на двух нитях проводника с током силой \(I=8\) А, находится в магнитном поле с индукцией \(B=15\) мТл. Линии индукции поля горизонтальны и перпендикулярны проводнику, а масса единицы длины проводника \(20\) г/м. Во сколько раз изменится сила натяжения нитей при изменении направления тока на обратное?

\(m=bl\\ 2T_1-mg-F_A=0\Rightarrow 2T_1=mg+F_A\\ 2T_2-mg+F_A=0\Rightarrow 2T_2=mg-F_A\) Поделим верхнее уравнение на нижнее: \(\frac{2T_1}{2T_2}=\frac{mg+F_A}{mg-F_A}=\frac{blg+BIl}{blg-BIl}=\frac{20\cdot 10^{-3}\cdot 10+15\cdot 10^{-3}\cdot 8}{20\cdot 10^{-3}\cdot 10-15\cdot 10^{-3}\cdot 8}=4\) Ответ: 4

На поверхности Земли силой \(2~\mathrm{кН}\) удерживается метеорологический зонд. Зонд отпускают, он поднимается вверх и остается на такой высоте, где его объем увеличивается в \(2\) раза. Температура и давление, измеренные зондом на этой высоте, равны \(-43~^\circ \mathrm{С}\) и \(5~\mathrm{кПа}\) соответственно. Найдите общую массу зонда. Давление на поверхности Земли равно \(10^5~\mathrm{Па}\), а температура равна \(+27~^\circ \mathrm{С}\).

Рассмотрим силы, действующие на зонд в каждом из случаев: \(Oy:~F_{\mathrm{А1}}-mg-F=0\Rightarrow F_{\mathrm{А1}}=mg+F\) \(Oy:~F_{\mathrm{А2}}-mg=0\Rightarrow F_{\mathrm{А2}}=mg\) Сила Архимеда: \(F_{\mathrm{А1}}=\rho_1gV_0\) \(F_{\mathrm{А2}}=\rho_2g\cdot 2V_0\) По уравнению Менделеева-Клапейрона определим плотности воздуха: \(p_1=\rho_1\frac{RT_1}{M}\Rightarrow \rho_1=\frac{p_1M}{RT_1}\) \(p_2=\rho_2\frac{RT_2}{M}\Rightarrow \rho_2=\frac{p_2M}{RT_2}\) Подставим силы Архимеда и плотности воздуха в условия равновесия зонда: \(\frac{p_1M}{RT_1}gV_0=mg+F\) \(\frac{p_2M}{RT_2}g\cdot 2V_0=mg\) Поделим полученные выражения друг на друга: \(\frac{p_1MgV_0\cdot RT_2}{RT_1\cdot p_2Mg\cdot 2V_0}=\frac{mg+F}{mg}\) \(p_1T_2mg=2p_2T_1\left (mg+F\right )\) \(p_1T_2mg=2p_2T_1mg+2p_2T_1F\) \(mg\left (p_1T_2-2p_2T_1\right )=2p_2T_1F\) Общая масса зонда: \(m=\frac{2p_2T_1F}{g\left (p_1T_2-2p_2T_1\right )}=\frac{2\cdot 5000\cdot 300\cdot 2000}{10\cdot \left (10^5\cdot 230-2\cdot 5000\cdot 300\right )}=30~\mathrm{кг}\) Ответ: 30 кг

На двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы с оптической силой \(10~\mathrm{дптр}\) на ее главной оптической оси расположен точечный источник света. Линза вставлена в непрозрачную оправу радиусом \(5~\mathrm{см}\). Каков диаметр светлого пятна на экране, расположенном на расстоянии \(30~\mathrm{см}\) от линзы? Сделайте рисунок с указанием хода лучей.

Фокусное расстояние линзы: \(F=\frac{1}{D}=\frac{1}{10}=0,1~\mathrm{м}=10~\mathrm{см}\) По формуле тонкой линзы: \(\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\) По условию задачи: \(a=2F\) Тогда: \(\frac{1}{F}=\frac{1}{2F}+\frac{1}{f}\) \(\frac{2}{2F}-\frac{1}{2F}=\frac{1}{f}\) \(\frac{1}{2F}=\frac{1}{f}\) \(f=2F\) Также по условию: \(b=30~\mathrm{см}=3F\) Из подобия треугольников \(ABC\) и \(EDC\): \(\frac{AB}{OC}=\frac{DE}{CK};~DE=2r=d\) \(\frac{2R}{2F}=\frac{d}{F}\) Диаметр светлого пятна на экране: \(d=R=5~\mathrm{см}\) Ответ: 5 см

На двух концах легкой пружины жесткостью \(k=120~\mathrm{Н/м}\) закреплено два бруска, массы которых \(m_1=m_2=900~\mathrm{г}\). Верхний брусок связан с помощью невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через идеальный блок, с кубиком массой \(M=3,2~\mathrm{кг}\), находящимся на горизонтальной поверхности стола. Коэффициент трения между основанием кубика и поверхностью стола \(\mu=0,3\). Длина пружины в недеформированном состоянии \(l_0=13~\mathrm{см}\). Чему равна длина пружины при движении брусков, если известно, что она при этом постоянна? Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

\(a_1=a_2~(1)\) \(a_2=a_3~(2)\) \(T_1=T_2=T~(3)\) \(F_{\mathrm{у1}}=F_{\mathrm{у2}}=F_{\mathrm{у}}~(4)\) Пусть \(a=a_1=a_2=a_3\). По второму закону Ньютона в проекциях на оси для кубика: \(Oy:~N-Mg=0\Rightarrow N=Mg\) Сила трения: \(F_{\mathrm{тр}}=\mu N=\mu Mg\) \(Ox:~T-F_{\mathrm{тр}}=Ma\) \(T-\mu Mg=Ma\Rightarrow T=\mu Mg+Ma\) Для брусков: \(F_{\mathrm{у}}-mg=-ma\Rightarrow F_{\mathrm{у}}=mg-ma\) \(T-mg-F_{\mathrm{у}}=-ma\) Подставим в последнее выражение силу натяжения и силу упругости: \(\mu Mg+Ma-mg-\left (mg-ma\right )=-ma\) \(\mu Mg+Ma-2mg+ma=-ma\) \(\left (M+m+m\right )a=2mg-\mu Mg\) Ускорение движения тел: \(a=\frac{g\left (2m-\mu M\right )}{M+2m}=\frac{10\cdot \left (2\cdot 0,9-0,3\cdot 3,2\right )}{3,2+2\cdot 0,9}=1,68~\mathrm{м/с^2}\) Сила упругости: \(F_{\mathrm{у}}=m\left (g-a\right )\) \(k\left (l-l_0\right )=m\left (g-a\right )\) \(l-l_0=\frac{m}{k}\left (g-a\right )\) Длина пружины при движении брусков: \(l=l_0+\frac{m}{k}\left (g-a\right )=0,13+\frac{0,9}{120}\cdot \left (10-1,68\right )=0,1924~\mathrm{м}\) Обоснование: 1) Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей. Будем считать ее инерциальной. 2) Так как тела движутся поступательно, используем для них модель материальной точки. 3) Распишем второй закон Ньютона. 4) Так как нить нерастяжима, то \((1)\). 5) Так как длина пружины постоянна, то \((2)\). 6) Так как нить невесома, то \((3)\). 7) Так как пружина легкая, то \((4)\).