В сосуд с водой при температуре \(t_1\) поместили металлический шарик с температурой \(t_2 = 10^\circ \text{C},\) после чего установилась температура \(t_3 = 40^\circ \text{C}.\) Не извлекая первый шарик, добавили второй такой же шарик при температуре \(t_2 = 10^\circ \text{C},\) и температура системы стала \(t_4 = 34^\circ \text{C}.\) Определите начальную температуру воды \(t_1.\)

Первый этап теплообмена (добавление первого шарика). Уравнение теплового баланса: \(Q_{\text{вода}} + Q_{\text{шарик1}} = 0\)где: \(Q_{\text{вода}} = m_B c_B (t_3- t_1)\) — тепло, отданное водой, \(Q_{\text{шарик1}} = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (t_3- t_2)\) — тепло, полученное первым шариком. Подставляем: \(m_B c_B (40- t_1) + m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (40- 10) = 0\)\(m_B c_B (40- t_1) = -m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \cdot 30\) Упрощаем: \(m_B c_B (t_1- 40) = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \cdot 30 \quad (1)\) Второй этап теплообмена (добавление второго шарика). Уравнение теплового баланса: \(Q'{\text{вода}} + Q'{\text{шарик1}} + Q_{\text{шарик2}} = 0\)где: \(Q'{\text{вода}} = m_B c_B (t_4- t_3) = m_B c_B (34- 40)\) — тепло, отданное водой, \(Q'{\text{шарик1}} = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (t_4- t_3) = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (34- 40)\) — тепло, отданное первым шариком, \(Q_{\text{шарик2}} = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (t_4- t_2) = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (34- 10)\) — тепло, полученное вторым шариком. Подставляем: \(m_B c_B (-6) + m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (-6) + m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \cdot 24 = 0\)\(-6 m_B c_B- 6 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} + 24 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} = 0\)\(-6 m_B c_B + 18 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} = 0\) Упрощаем: \(m_B c_B = 3 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \quad (2)\) Находим начальную температуру воды \(t_1.\) Подставляем соотношение \((2)\) в уравнение \((1)\): \(3 m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} (t_1- 40) = m_{\text{ш}} c_{\text{ш}} \cdot 30\) \(3(t_1- 40) = 30\) \(t_1- 40 = 10\)\(t_1 = 50^\circ \text{C}\) Ответ: \(t_1 = 50^\circ \text{C}.\)

Ион с зарядом \(q = 3.2 \cdot 10^{-19} \space \text{Кл}\) и массой \(m = 1.5 \cdot 10^{-25} \space \text{кг}\) проходит ускоряющую разность потенциалов \(U.\) После он влетает в магнитное поле с индукцией \(B = 0.3 \space \text{Тл}\) и движется в нем по окружности с радиусом \(R = 0.25 \space \text{м}\). Найдите ускоряющую разность потенциалов \(U\) \((\) \(v_0,\) \(mg\) пренебрегаем\().\)

\(1.\) При ускорении в электрическом поле ион приобретает кинетическую энергию. По теореме об изменении кинетической энергии работа электрического поля равна изменению кинетической энергии: \(qU = \dfrac{mv^2}{2}\) \(2.\) В магнитном поле на ион действует сила Лоренца. По второму закону Ньютона сила Лоренца создает центростремительное ускорение: \(Bqv = m \dfrac{v^2}{R}\) Откуда получаем: \(v = \dfrac{BqR}{m}\) \(3.\) Подставляем выражение для скорости в первую формулу: \(qU = \dfrac{m}{2} \left( \dfrac{BqR}{m} \right)^2 = \dfrac{B^2 q^2 R^2}{2m}\) \(4.\) Выражаем разность потенциалов: \(U = \dfrac{B^2 q R^2}{2m}\) \(5.\) Подставляем числовые значения: \(B = 0.3 \space \text{Тл},\) \(q = 3.2 \cdot 10^{-19} \space \text{Кл},\) \(R = 0.25 \space \text{м},\) \(m = 1.5 \cdot 10^{-25} \space \text{кг}{:}\) \(U = \dfrac{(0.3)^2 \cdot (3.2 \cdot 10^{-19}) \cdot (0.25)^2}{2 \cdot 1.5 \cdot 10^{-25}} = \dfrac{0.09 \cdot 3.2 \cdot 10^{-19} \cdot 0.0625}{3 \cdot 10^{-25}}\) \(U = \dfrac{0.09 \cdot 2 \cdot 10^{-20}}{3 \cdot 10^{-25}} = \dfrac{1.8 \cdot 10^{-21}}{3 \cdot 10^{-25}} = 0.6 \cdot 10^4 = 6\space000 \space \text{В}\) Ответ: ускоряющая разность потенциалов равна \(6\space000 \space \text{В}.\)

На гладкой горизонтальной поверхности удерживают груз массой \(m_2 = 4 \, \text{кг}.\) Он соединен невесомой и нерастяжимой нитью с грузом массой \(m_1 = 2 \, \text{кг}\) через систему идеальных блоков (блоки невесомые, трение в осях отсутствует). Участки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны или горизонтальны. Груз \(m_2\) отпускают, и система приходит в движение. Найдите ускорение груза \(m_1\) в ходе движения. Какие законы Вы использовали для описания движения тел? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

Обоснование: Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной. Грузы движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки. Нить невесома, а блоки идеальны (без массы и трения), поэтому сила натяжения нити \(T\) одинакова на всех участках. Нить нерастяжима, что позволяет установить кинематическую связь между ускорениями грузов. Поверхность гладкая, поэтому силой трения можно пренебречь. Силы, действующие на тела. Груз \(m_1\): — Сила тяжести: \(m_1\vec{g}\) (вниз). — Сила натяжения нити: \(\vec{T}_1\) (вверх). Груз \(m_2\): — Сила тяжести: \(m_2\vec{g}\) (вниз). — Сила реакции опоры: \(\vec{N}\) (вверх). — Сила натяжения нити: \(\vec{T}_2\) (горизонтально влево). Кинематическая связь. Пусть груз \(m_1\) перемещается на расстояние \(s_1\) вниз, а груз \(m_2\) — на расстояние \(s_2\) влево. Из геометрии системы (подвижный блок) следует: \(s_1 = 2s_2\)Дифференцируя дважды по времени, получаем связь ускорений: \(a_1 = 2a_2\) Уравнения движения. Для груза \(m_1\) (ось \(Oy\) направлена вниз): \(m_1 a_1 = m_1 g- T_1\quad (1)\)Для груза \(m_2\) (ось \(Ox\) направлена влево): \(m_2 a_2 = T_2 \quad (2)\)Для подвижного блока: \(T_2 = 2T_1 \quad (3)\) Из \((3)\) выразим \(T_1\): \(T_1 = \frac{T_2}{2} \quad (4)\)Подставим \((4)\) в \((1)\): \(m_1 a_1 = m_1 g- \frac{T_2}{2} \quad (5)\)Из \((2)\) выразим \(T_2\): \(T_2 = m_2 a_2. \quad (6)\) Подставим \((6)\) в \((5)\): \(m_1 a_1 = m_1 g- \frac{m_2 a_2}{2}\quad (7)\)Используем кинематическую связь \(a_1 = 2a_2\):\(m_1 \cdot 2a_2 = m_1 g- \frac{m_2 a_2}{2}\) \(2m_1 a_2 + \frac{m_2 a_2}{2} = m_1 g\) \(a_2 \left(2m_1 + \frac{m_2}{2}\right) = m_1 g\) \(a_2 = \frac{m_1 g}{2m_1 + \frac{m_2}{2}} = \frac{2m_1 g}{4m_1 + m_2}\) Ускорение груза \(m_1\): \(a_1 = 2a_2 = \frac{4m_1 g}{4m_1 + m_2}\) Подставляем \(m_1 = 2 \, \text{кг},\) \(m_2 = 4 \, \text{кг},\) \(g = 10 \, \text{м/с}^2\):\(a_1 = \frac{4 \cdot 2 \cdot 10}{4 \cdot 2 + 4} = \frac{80}{12} \approx 6.67 \, \text{м/с}^2\) Ответ: ускорение груза \(m_1\) равно \(a_1 \approx 6.7 \, \text{м/с}^2.\)

Тело движется по оси \(Ox\). По графику зависимости проекции скорости тела \(v_x\) от времени \(t\) установите, какой путь прошло тело за время от \(t_1 = 0\) до \(t_2 = 4\space с.\) (Ответ дайте в метрах).

\(1.\) Анализ графика скорости: Проекция скорости \(v_x\) положительна на всем интервале \(0-4\space с.\) График представляет собой прямую линию, начинающуюся в нуле. Максимальная скорость \(10\space м/с\) достигается при \(t=4\space с.\) \(2.\) Вычисляем путь как площадь треугольника:\(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20 \text{ м}\) \(3.\) Альтернативный метод (через ускорение): Ускорение \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{10}{4} = 2.5 \text{ м/с}^2.\) Путь по формуле: \(S = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2} = 0 + \dfrac{2.5 \cdot 16}{2} = 20 \text{ м}.\)

Три бруска массами \(m,\) \(2m\) и \(3m\) с помощью невесомых нерастяжимых нитей \(1, 2\) и \(3\) соединены между собой и прикреплены к потолку (см. рис.). Система находится в равновесии. Чему равно отношение модулей сил натяжения нитей \(1\) и \(2?\)

Второй закон Ньютона для равновесия. Для каждого бруска в состоянии равновесия: \(\sum \vec{F} = 0 \Rightarrow T = mg + T_{\text{нижн}}\) где \(T_{\text{нижн}}\) — натяжение нити от нижележащих брусков. \(1.\) Для нижнего бруска массой \(3m\): \(T_3 = 3mg\) \(2.\) Для среднего бруска массой \(2m\): \(T_2 = T_3 + 2mg = 3mg + 2mg = 5mg\) \(3.\) Для верхнего бруска массой \(m\): \(T_1 = T_2 + mg = 5mg + mg = 6mg\) \(4.\) Находим отношение сил натяжения: \(\frac{T_1}{T_2} = \frac{6mg}{5mg} = \frac{6}{5} = 1,2\)