Проводник массой \(m = 40 \space \text{г} = 0.04 \space \text{кг}\) и длиной \(l = 10 \space \text{см} = 0.1 \space \text{м}\) равномерно скользит вниз в однородном магнитном поле с индукцией \(B = 0.4 \space \text{Тл},\) вектор которого направлен от наблюдателя. При этом на конденсаторе накапливается заряд \(q = 8 \space \text{мкКл} = 8 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл}.\) Найдите энергию, которая находится на конденсаторе, если сопротивление резистора \(R = 5 \space \text{мОм} = 5 \cdot 10^{-3} \space \text{Ом}.\)

\(1.\) При движении проводника в магнитном поле в нем индуцируется \(ЭДС\) индукции \(\mathcal{E}_i = B l v.\) \(2.\) По закону Ома для полной цепи сила тока в контуре \(I = \dfrac{\mathcal{E}_i}{R} = \dfrac{B l v}{R}.\) \(3.\) На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера \(F_A = B I l = B \cdot \dfrac{B l v}{R} \cdot l = \dfrac{B^2 l^2 v}{R},\) направленная вверх. \(4.\) При равномерном движении проводника по второму закону Ньютона: \(F_A = mg \quad \Rightarrow \quad \dfrac{B^2 l^2 v}{R} = mg\) \(5.\) Выражаем скорость движения проводника: \(v = \dfrac{mg R}{B^2 l^2}\) \(6.\) Напряжение на конденсаторе равно \(ЭДС\) индукции: \(U = \mathcal{E}_i = B l v = B l \cdot \dfrac{mg R}{B^2 l^2} = \dfrac{mg R}{B l}\) \(7.\) Энергия конденсатора: \(W = \dfrac{q U}{2} = \dfrac{q}{2} \cdot \dfrac{mg R}{B l}\) \(8.\) Подставляем числовые значения: \(q = 8 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл},\) \(m = 0.04 \space \text{кг},\) \(g = 10 \space \text{м/с}^2,\) \(R = 5 \cdot 10^{-3} \space \text{Ом}\), \(B = 0.4 \space \text{Тл},\) \(l = 0.1 \space \text{м}{:}\) \(W = \dfrac{8 \cdot 10^{-6} \cdot 0.04 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 0.4 \cdot 0.1} = \dfrac{1.6 \cdot 10^{-8}}{0.08} = 2 \cdot 10^{-7} \space \text{Дж} = 0.2 \space \text{мкДж}\) Ответ: энергия на конденсаторе равна \(0.2 \space \text{мкДж}.\)

На шероховатой горизонтальной поверхности с коэффициентом трения \(\mu = 0.2\) лежит груз массой \(M = 0.8 \, \text{кг}.\) Он соединен невесомой и нерастяжимой нитью через идеальный блок с системой из двух брусков массой \(m = 0.4 \, \text{кг}\) каждый, соединенных пружиной жесткости \(k = 80 \, \text{Н/м}.\) Длина пружины в недеформированном состоянии \(l_0 = 10 \, \text{см}.\) Система движется вниз. Найти длину пружины \(l\) в процессе движения, считая ее постоянной.

Обоснование: Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной. Все тела движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки. Нить невесома и нерастяжима, поэтому: — Силы натяжения равны: \(T_1 = T_2 = T\) — Ускорения тел равны: \(a_1 = a_2 = a\) Пружина легкая, поэтому силы упругости на обоих брусках равны: \(F_{\text{упр}}\) В \(ИСО\) применяем второй закон Ньютона. Силы, действующие на тела. Груз \(M\) на поверхности: — Сила тяжести: \(M\vec{g}\) (вниз). — Сила реакции опоры: \(\vec{N}\) (вверх). — Сила трения: \(\vec{F}_{\text{тр}} = -\mu N \vec{i}\) (против движения). — Сила натяжения нити: \(\vec{T}\) (вправо). Верхний брусок \(m\): — Сила тяжести: \(m\vec{g}\) (вниз). — Сила натяжения нити: \(\vec{T}\) (вверх). — Сила упругости пружины: \(\vec{F}_{\text{упр}}\) (вверх). Нижний брусок \(m\): — Сила тяжести: \(m\vec{g}\) (вниз). — Сила упругости пружины: \(\vec{F}_{\text{упр}}\) (вверх). Уравнения движения (в проекциях на вертикальную ось). Для груза \(M\): \(Ma = T- F_{\text{тр}} \quad (1)\) \(N = Mg \quad (2)\)Для верхнего бруска \(m\): \(ma = mg- T + F_{\text{упр}} \quad (3)\)Для нижнего бруска \(m\): \(ma = mg- F_{\text{упр}} \quad (4)\)Выразим силу трения из \((2)\): \(F_{\text{тр}} = \mu N = \mu Mg\) Из уравнения \((4)\) найдем силу упругости: \(F_{\text{упр}} = mg- ma \quad (5)\) Подставим \((5)\) в \((3)\): \(ma = mg- T + (mg- ma)\) \(2ma = 2mg- T\quad (6)\) Из уравнения \((1)\) выразим \(T\): \(T = Ma + F_{\text{тр}} = Ma + \mu Mg \quad (7)\) Подставим \((7)\) в \((6)\): \(2ma = 2mg- (Ma + \mu Mg)\)\(a(2m + M) = g(2m- \mu M)\) \(a = \frac{g(2m- \mu M)}{2m + M}\quad (8)\) Вычислим ускорение: \(a = \frac{10 \cdot (0.8- 0.2 \cdot 0.8)}{0.8 + 0.8} = \frac{10 \cdot 0.64}{1.6} = 4 \, \text{м/с}^2\) Найдем удлинение пружины из \((5)\): \(F_{\text{упр}} = m(g- a) = 0.4 \cdot (10- 4) = 2.4 \, \text{Н}\) По закону Гука: \(x = \frac{F_{\text{упр}}}{k} = \frac{2.4}{80} = 0.03 \, \text{м} = 3 \, \text{см}\) Длина пружины: \(l = l_0 + x = 10 \, \text{см} + 3 \, \text{см} = 13 \, \text{см}\) Ответ: длина пружины в процессе движения \(l = 13 \, \text{см}.\)

Тело движется по оси \(Ox\). На графике показана зависимость проекции скорости тела на ось \(Ox\) от времени. Каков путь, пройденный телом к моменту времени \(t = 4\space с?\) (Ответ дайте в метрах).

\(1.\) Анализируем график скорости: \(0-2\space с{:}\) линейный рост скорости от \(0\) до \(2\space м/с\); \(2-4\space с{:}\) постоянная скорость \(2\space м/с\). \(2.\) Вычисляем путь по площадям. \(2.1.\) Участок \(0-2\space с\) (треугольник): \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 \text{ м}\) \(2.2.\) Участок \(2-4\space с\) (прямоугольник): \(S_2 = 2 \cdot 2 = 4 \text{ м}\) \(3.\) Суммарный путь:\(S = S_1 + S_2 = 2 + 4 = 6 \text{ м}\)

По горизонтальной шероховатой поверхности равномерно толкают ящик массой \(20\space кг,\) прикладывая к нему силу, направленную под углом \(30^\circ\) к горизонтали (сверху вниз). Модуль силы равен \(100\space Н.\) Чему равен модуль силы, с которой ящик давит на поверхность?

\(1.\) Сила давления ящика на поверхность равна по модулю силе нормальной реакции опоры \(N\) (по третьему закону Ньютона). \(2.\) Запишем условие равновесия для вертикальных сил: \(N = mg + F \sin 30^\circ\) \(3.\) Подставляем значения: \(N = 20\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 + 100\,\text{Н} \cdot 0.5\) \(200\,\text{Н} + 50\,\text{Н}= 250\,\text{Н}\)

Самосвал массой \(m_0\) движется к карьеру с кинетической энергией \(2{,}5 \cdot 10^5\,\text{Дж}\). Какой станет его кинетическая энергия после загрузки, если он продолжит движение с той же скоростью, а его масса увеличится в \(2\) раза? (Ответ дайте в килоджоулях.)

Исходные данные: — Начальная кинетическая энергия: \(E_{k0} = 2.5 \cdot 10^5\,\text{Дж}\), — Увеличение массы: \(m = 2m_0\), — Скорость остается неизменной: \(v = \text{const}\). 2. Формула кинетической энергии: Кинетическая энергия вычисляется по формуле: \(E_k = \frac{mv^2}{2}.\) 3. Связь энергий до и после загрузки: — Начальная энергия: \(E_{k0} = \frac{m_0 v^2}{2} = 2.5 \cdot 10^5\,\text{Дж}.\) — После увеличения массы: \(E_k = \frac{(2m_0) v^2}{2} = 2 \cdot \left(\frac{m_0 v^2}{2}\right) = 2E_{k0}.\) 4. Вычисление новой кинетической энергии: \(E_k = 2 \cdot 2.5 \cdot 10^5\,\text{Дж} = 5 \cdot 10^5\,\text{Дж}.\) 5. Перевод в килоджоули: \(5 \cdot 10^5\,\text{Дж} = 500\,\text{кДж}.\)