На рисунке показан график изотермического сжатия газа при температуре \(150\,\text{К}.\) Какое количество газообразного вещества содержится в этом сосуде? Ответ приведите в молях, округлив до целого.

\(1.\) Используем уравнение состояния идеального газа:\(pV = \nu RT\) \(2.\) Выражаем количество вещества:\(\nu = \frac{pV}{RT}\) \(3.\) Выбираем точку на графике:\(p = 50 \cdot 10^4\,\text{Па}, \quad V = 0.1\,\text{м}^3\) \(4.\) Подставляем значения:\(\nu = \frac{50 \cdot 10^4 \cdot 0.1}{8.31 \cdot 150}\) \(5.\) Вычисляем числитель:\(50 \cdot 10^4 \cdot 0.1 = 5 \cdot 10^4\) \(6.\) Вычисляем знаменатель:\(8.31 \cdot 150 = 1\space246.5\) \(7.\) Находим количество вещества:\(\nu = \frac{5 \cdot 10^4}{1\space246.5} \approx 40.1\) \(8.\) Округляем до целого:\(\nu \approx 40\) Ответ: количество вещества газа составляет \(40\,\text{моль}.\)

В закрытом сосуде при температуре \(100^\circ \text{C}\) находится влажный воздух с относительной влажностью \(\varphi = 60\%\) под давлением \(p = 100 \, \text{кПа}.\) Объем сосуда изотермически уменьшили в \(2.5\) раза. Во сколько раз нужно увеличить абсолютную температуру воздуха без изменения объема сосуда, чтобы получить такое же конечное давление? Объемом сконденсировавшейся воды пренебречь.

Исходное состояние системы. Температура \(T_1 = 373 \, \text{K}\) \(( 100^\circ \text{C} ).\) Давление насыщенного водяного пара при \(100^\circ \text{C}\): \(p_{\text{н.п.}} = 100 \, \text{кПа}.\) Парциальное давление водяного пара: \(p_{\text{пара}} = \varphi \cdot p_{\text{н.п.}} = 0.6 \cdot 100 = 60 \, \text{кПа}.\) Парциальное давление сухого воздуха: \(p_{\text{возд}} = p- p_{\text{пара}} = 100- 60 = 40 \, \text{кПа}.\) Изотермическое сжатие (уменьшение объема в \(2.5\) раза). Для сухого воздуха (по закону Бойля-Мариотта): \(p_{\text{возд}} V = p'{\text{возд}} \frac{V}{2.5}\)\(p'{\text{возд}} = 2.5 \cdot p_{\text{возд}} = 2.5 \cdot 40 = 100 \, \text{кПа}\) Для водяного пара. Так как после сжатия пар становится насыщенным, его давление остается \(p_{\text{н.п.}} = 100 \, \text{кПа}\) Общее давление после сжатия: \(p_2 = p'{\text{возд}} + p{\text{н.п.}} = 100 + 100 = 200 \, \text{кПа}\) Изохорный нагрев до исходного давления. Необходимо вернуть давление к исходному \(p = 100 \, \text{кПа}\) По закону Шарля для смеси газов: \(\frac{p_2}{T_1} = \frac{p}{T_2}\) \(\frac{200}{373} = \frac{100}{T_2}\)\(T_2 = \frac{100 \cdot 373}{200} = 186.5 \, \text{K}\) Определение коэффициента увеличения температуры. Исходная температура: \(T_1 = 373 \, \text{K}\) Необходимая температура: \(T_2 = 186.5 \, \text{K}\) Коэффициент увеличения: \(k = \frac{T_1}{T_2} = \frac{373}{186.5} = 2\) Ответ: температуру необходимо увеличить в \(2\) раза.

На горизонтальном столе лежит прямой проводник массой \(m = 40 \space \text{г} = 0.04 \space \text{кг}\) и длиной \(l = 60 \space \text{см} = 0.6 \space \text{м}.\) В области стола создано однородное вертикальное магнитное поле. Если через проводник пропускать достаточно большой ток, то проводник скользит по столу, двигаясь поступательно. Какова индукция магнитного поля, если при силе тока \(I = 10 \space \text{A}\) проводник движется равномерно? Коэффициент трения между проводником и поверхностью стола равен \(\mu = 0.3.\)

\(1.\) На проводник действуют четыре силы: сила тяжести \(mg\), сила реакции опоры \(N\), сила трения \(F_{тр}\) и сила Ампера \(F_A = BIl\) (так как \(\sin 90^\circ = 1)\). \(2.\) По первому закону Ньютона (равномерное движение) равнодействующая всех сил равна нулю. В проекции на вертикальную ось: \(N = mg\) \(3.\) В проекции на горизонтальную ось: \(F_A = F_{тр},\) где сила трения \(F_{тр} = \mu N = \mu mg\) \(4.\) Подставляем выражение для силы Ампера: \(BIl = \mu mg\) \(5.\) Выражаем индукцию магнитного поля: \(B = \dfrac{\mu mg}{Il}\) \(6.\) Подставляем числовые значения: \(\mu = 0.3,\) \(m = 0.04 \space \text{кг},\) \(g = 10 \space \text{м/с}^2,\) \(I = 10 \space \text{А},\) \(l = 0.6 \space \text{м}{:}\) \(B = \dfrac{0.3 \cdot 0.04 \cdot 10}{10 \cdot 0.6} = \dfrac{0.12}{6} = 0.02 \space \text{Тл}\) Ответ: индукция магнитного поля равна \(0.02 \space \text{Тл}.\)

На горизонтальном столе находится брусок массой \(M = 1 \, \text{кг},\) соединенный невесомой нерастяжимой нитью с грузом массой \(m = 500 \, \text{г} = 0.5 \, \text{кг}.\) Нить перекинута через гладкий невесомый блок. На брусок действует сила \(F = 9 \, \text{Н},\) направленная под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту. В начальный момент груз находится на расстоянии \(L = 32 \, \text{см} = 0.32 \, \text{м}\) от края стола. Коэффициент трения между бруском и столом \(\mu = 0.3.\) Определите скорость \(V\) груза в момент достижения им края стола.

Обоснование: Систему отсчета, связанную со столом, считаем инерциальной. Тела движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки. Нить нерастяжима, поэтому ускорения бруска и груза равны: \(a_1 = a_2 = a.\) Блок невесомый и гладкий, поэтому силы натяжения нити по обе стороны блока равны: \(T_1 = T_2 = T.\) Трением в блоке и о воздух пренебрегаем. Силы, действующие на систему. На брусок: — Сила тяжести: \(M\vec{g}\) (вниз). — Сила реакции опоры: \(\vec{N}\) (вверх). — Сила трения: \(\vec{F}_{\text{тр}} = -\mu \vec{N}\) (против движения). — Сила натяжения нити: \(\vec{T}\) (вправо). — Внешняя сила: \(\vec{F}\) (под углом \(\alpha\) к горизонту). На груз: — Сила тяжести: \(m\vec{g}\) (вниз). — Сила натяжения нити: \(\vec{T}\) (вверх). Уравнения движения (в проекциях). Для бруска (ось \(Ox\) — горизонтальная, ось \(Oy\) — вертикальная): \(F \cos \alpha- T- F_{\text{тр}} = Ma \quad (1)\) \(N + F \sin \alpha = Mg\quad (2)\) Для груза (ось \(Oy\) — вертикальная): \(T- mg = ma \quad (3)\) Выразим силу трения из \((2)\): \(N = Mg- F \sin \alpha\) \(F_{\text{тр}} = \mu N = \mu (Mg- F \sin \alpha)\) Подставим \(F_{\text{тр}}\) в \((1)\): \(F \cos \alpha- T — \mu (Mg- F \sin \alpha) = Ma \quad (4)\) Выразим \(T\) из \((3)\): \(T = ma + mg\quad (5)\) Подставим \((5)\) в \((4)\): \(F \cos \alpha- (ma + mg) — \mu (Mg- F \sin \alpha) = Ma\) Раскроем скобки: \(F \cos \alpha- ma- mg- \mu Mg + \mu F \sin \alpha = Ma\) Перенесем все члены с \(a\) влево: \(-ma- Ma = -F \cos \alpha + mg + \mu Mg- \mu F \sin \alpha\) Умножим на \(-1\): \((M + m)a = F (\cos \alpha + \mu \sin \alpha)- g(m + \mu M)\) Найдем ускорение \(a\): \(a = \frac{F (\cos \alpha + \mu \sin \alpha)- g(m + \mu M)}{M + m}\) Подставим числовые значения: \(a = \frac{9 (\cos 30^\circ + 0.3 \sin 30^\circ)- 10 (0.5 + 0.3 \cdot 1)}{1 + 0.5}\) Вычислим тригонометрические функции: \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866, \quad \sin 30^\circ = 0.5\) Тогда: \(a = \frac{9 (0.866 + 0.3 \cdot 0.5)- 10 \cdot 0.8}{1.5} = \frac{9 (0.866 + 0.15)- 8}{1.5}\) \(= \frac{9 \cdot 1.016- 8}{1.5} \approx \frac{9.144- 8}{1.5} \approx 0.763 \, \text{м/с}^2\) Найдем скорость груза. Груз движется равноускоренно из состояния покоя. Пройденный путь \(L = 0.32 \, \text{м}\) Тогда: \(V = \sqrt{2aL} = \sqrt{2 \cdot 0.763 \cdot 0.32} \approx \sqrt{0.488} \approx 0.7 \, \text{м/с}\) Ответ: скорость груза при достижении края стола \(V \approx 0.7 \, \text{м/с}.\)

Тело движется по оси \(Ox\). По графику зависимости проекции скорости тела \(v_x\) от времени \(t\) установите, какой путь прошло тело за время от \(t_1 = 0\) до \(t_2 = 8\) с. (Ответ дайте в метрах).

\(1.\) Анализ графика скорости: От \(0\) до \(4\space с{:}\) скорость уменьшается от \(10\space м/с\) до \(0\space м/с\) От \(4\) до \(8\space с{:}\) скорость изменяется от \(0\space м/с\) до \(-5\space м/с\) \(2.\) Вычисляем путь через площади: \(2.1.\) Участок \(0-4\space с\) (треугольник):\(S_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20 \text{ м}\) \(2.2.\) Участок \(4-8\space с\) (треугольник, учитываем модуль скорости):\(S_2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10 \text{ м}\) \(3.\) Суммарный путь:\(S = S_1 + S_2 = 20 + 10 = 30 \text{ м}\)