Снаряд массой \(m = 2\,\text{кг},\) летящий со скоростью \(v_0 = 200\,\frac{\text{м}}{\text{с}},\) разрывается на два осколка. Первый осколок массой \(m_1 = 1\,\text{кг}\) летит под углом \(90^\circ\) к первоначальному направлению. Второй осколок массой \(m_2 = 1\,\text{кг}\) движется под углом \(60^\circ\) к исходному направлению. Определите скорость второго осколка \(v_2.\)

Импульс системы до разрыва равен векторной сумме импульсов осколков после разрыва: \(\vec{p}_0 = \vec{p}_1 + \vec{p}_2\) где: \(\vec{p}_0 = m v_0 = 2 \cdot 200 = 400\,\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}\) — импульс снаряда, \(\vec{p}_1 = m_1 v_1\) — импульс первого осколка, \(\vec{p}_2 = m_2 v_2\) — импульс второго осколка. Направим ось \(x\) вдоль первоначального движения снаряда, ось \(y\) — перпендикулярно. Для первого осколка \(( 90^\circ )\): \(p_{1x} = 0, \quad p_{1y} = m_1 v_1\) Для второго осколка \(( 60^\circ )\): \(p_{2x} = m_2 v_2 \cos 60^\circ, \quad p_{2y} = m_2 v_2 \sin 60^\circ\) По оси \(x\): \(p_0 = p_{2x} \implies 400 = 1 \cdot v_2 \cdot 0.5 \implies v_2 = \frac{400}{0.5} = 800\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) По оси \(y\): \(0 = p_{1y}- p_{2y} \implies m_1 v_1 = m_2 v_2 \sin 60^\circ\) Подставляем \(v_2 = 800\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\): \(1 \cdot v_1 = 1 \cdot 800 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \implies v_1 = 400\sqrt{3}\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) Ответ: скорость второго осколка равна \(v_2 = 800\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.\)

На рисунке показан график изменения давления \(32\,\text{моль}\) газа при изохорном нагревании. Каков объем этого газа? Ответ приведите в кубических метрах с точностью до десятых.

\(1.\) Используем уравнение состояния идеального газа: \(pV = \nu RT\) \(2.\) Выражаем объем: \(V = \frac{\nu RT}{p}\) \(3.\) Выбираем точку на графике:\(T = 300\,\text{К}, \quad p = 2 \cdot 10^5\,\text{Па}\) \(4.\) Подставляем значения:\(V = \frac{32 \cdot 8.31 \cdot 300}{2 \cdot 10^5}\) \(5.\) Вычисляем числитель:\(32 \cdot 8.31 \cdot 300 = 79\space776\) \(6.\) Вычисляем знаменатель:\(2 \cdot 10^5 = 200\space000\) \(7.\) Находим объем:\(V = \frac{79\space776}{200\space000} = 0.39\space888\,\text{м}^3\) \(8.\) Округляем до десятых:\(V \approx 0.4\,\text{м}^3\) Ответ: объем газа составляет \(0.4\,\text{м}^3.\)

Сосуд объемом \(V = 10 \, \text{л}\) содержит смесь водорода (\(H_2\)) и гелия (\(He\)) общей массой \(m = 2 \, \text{г}\) при давлении \(p = 200 \, \text{кПа}.\) Соотношение массы водорода к массе гелия в смеси равно \(1.5.\) Чему равна температура в сосуде?

Определение масс компонентов смеси. Пусть масса гелия \(m_{He} = x,\) тогда масса водорода \(m_{H_2} = 1.5x.\) Сумма масс: \(x + 1.5x = 2 \, \text{г}.\) Отсюда: \(2.5x = 2 \, \text{г} \Rightarrow x = 0.8 \, \text{г}.\) Масса гелия: \(m_{He} = 0.8 \, \text{г}.\) Масса водорода: \(m_{H_2} = 1.2 \, \text{г}.\) Молярные массы газов. Молярная масса водорода: \(M_{H_2} = 2 \, \text{г/моль}.\) Молярная масса гелия: \(M_{He} = 4 \, \text{г/моль}.\) Парциальные давления газов. Используем уравнение Клапейрона-Менделеева для каждого газа: \(p_{H_2} = \frac{m_{H_2} R T}{M_{H_2} V} \quad p_{He} = \frac{m_{He} R T}{M_{He} V}\)По закону Дальтона, общее давление: \(p = p_{H_2} + p_{He} = \frac{R T}{V} \left( \frac{m_{H_2}}{M_{H_2}} + \frac{m_{He}}{M_{He}} \right)\) Вычисление температуры. Подставляем известные значения: \(2 \cdot 10^5 \, \text{Па} = \frac{8.31 \cdot T}{10^{-2} \, \text{м}^3} \left( \frac{1.2}{2} + \frac{0.8}{4} \right)\)Упрощаем выражение в скобках: \(\frac{1.2}{2} + \frac{0.8}{4} = 0.6 + 0.2 = 0.8 \, \text{моль}\)Подставляем и решаем относительно \(T\): \(2 \cdot 10^5 = \frac{8.31 \cdot T}{10^{-2}} \cdot 0.8\) \(2 \cdot 10^5 = 8.31 \cdot T \cdot 80\) \(T = \frac{2 \cdot 10^5}{8.31 \cdot 80} \approx 301 \, \text{K}\) Ответ: температура в сосуде равна \(301 \, \text{K}.\)

Ион с зарядом \(q = 3.2 \cdot 10^{-19} \space \text{Кл}\) и массой \(m = 1.5 \cdot 10^{-25} \space \text{кг}\) проходит ускоряющую разность потенциалов \(U = 1 \space \text{кВ} = 1\space000 \space \text{В}\) и после этого попадает в однородное магнитное поле, в котором движется по окружности радиусом \(R = 0.3 \space \text{м}.\) Определите модуль индукции магнитного поля \(B.\) Считать, что установка находится в вакууме. Силой тяжести и скоростью иона до прохождения ускоряющей разности потенциалов пренебречь.

\(1.\) При ускорении в электрическом поле ион приобретает кинетическую энергию. По теореме об изменении кинетической энергии работа электрического поля равна изменению кинетической энергии: \(qU = \dfrac{mv^2}{2}\) \(2.\) В магнитном поле на ион действует сила Лоренца. По второму закону Ньютона сила Лоренца создает центростремительное ускорение: \(Bqv = m \dfrac{v^2}{R}\) Откуда получаем: \(v = \dfrac{BqR}{m}\) \(3.\) Подставляем выражение для скорости в первую формулу: \(qU = \dfrac{m}{2} \left( \dfrac{BqR}{m} \right)^2 = \dfrac{B^2 q^2 R^2}{2m}\) \(4.\) Выражаем индукцию магнитного поля: \(B = \dfrac{1}{R} \sqrt{\dfrac{2mU}{q}}\) \(5.\) Подставляем числовые значения: \(R = 0.3 \space \text{м},\) \(m = 1.5 \cdot 10^{-25} \space \text{кг},\) \(U = 1\space000 \space \text{В},\) \(q = 3.2 \cdot 10^{-19} \space \text{Кл}{:}\) \(B = \dfrac{1}{0.3} \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1.5 \cdot 10^{-25} \cdot 1\space000}{3.2 \cdot 10^{-19}}} = \dfrac{1}{0.3} \sqrt{\dfrac{3 \cdot 10^{-22}}{3.2 \cdot 10^{-19}}} = \dfrac{1}{0.3} \sqrt{0.9375 \cdot 10^{-3}}\) \(B = \dfrac{1}{0.3} \sqrt{9.375 \cdot 10^{-4}} = \dfrac{1}{0.3} \cdot 0.03062 = \dfrac{0.03062}{0.3} = 0.102 \space \text{Тл}\) Ответ: модуль индукции магнитного поля равен \(0.1 \space \text{Тл}.\)

Клин массой \(M\) скользит по гладкой горизонтальной поверхности стола. По шероховатой поверхности клина, образующей угол \(\alpha\) с горизонтом, равномерно (относительно клина) вниз скользит брусок массой \(m.\) Коэффициент трения между бруском и клином равен \(\mu.\) Определите модуль внешней горизонтальной силы \(F,\) действующей на клин вправо. Обоснуйте применимость используемых законов. Сделайте схематический рисунок с указанием всех действующих сил.

Обоснование: Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной. Движение бруска и клина поступательное, поэтому их можно описывать моделью материальной точки. Брусок движется равномерно относительно клина, значит, клин и брусок относительно Земли движутся с одинаковым ускорением \(a.\) В инерциальной системе отсчета применяем второй закон Ньютона. Силы трения между бруском и клином являются парными (третий закон Ньютона). Силы, действующие на систему. На брусок: — Сила тяжести: \(m\vec{g}\) (вертикально вниз). — Сила реакции опоры клина: \(\vec{N}1\) (перпендикулярно поверхности клина). — Сила трения: \(\vec{F}{\text{тр}} = \mu N_1\) (вдоль поверхности клина вверх, так как брусок скользит вниз). На клин: — Сила тяжести: \(M\vec{g}\) (вертикально вниз). — Сила реакции опоры стола: \(\vec{N}2\) (вертикально вверх). — Сила трения со стороны бруска: \(\vec{F}{\text{тр}}\) (вдоль поверхности клина вниз, по третьему закону Ньютона). — Внешняя сила: \(\vec{F}\) (горизонтально вправо). Уравнения движения. Для бруска (в проекциях на оси, параллельную и перпендикулярную поверхности клина): \(N_1 \sin \alpha- F_{\text{тр}} \cos \alpha = ma \quad (1)\)\(N_1 \cos \alpha + F_{\text{тр}} \sin \alpha- mg = 0 \quad (2)\)Для клина (горизонтальная ось): \(F- F_{\text{тр}} \cos \alpha- N_1 \sin \alpha = Ma \quad (3)\) Выразим силу трения: \(F_{\text{тр}} = \mu N_1\) Решим систему уравнений для бруска. Подставим \(F_{\text{тр}}\) в \((2)\): \(N_1 \cos \alpha + \mu N_1 \sin \alpha = mg\) \(N_1 (\cos \alpha + \mu \sin \alpha) = mg\) \(N_1 = \frac{mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}\quad (4)\)Подставим \((4)\) в \((1)\): \(\frac{mg \sin \alpha}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}- \frac{\mu mg \cos \alpha}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} = ma\) \(a = g \cdot \frac{\sin \alpha- \mu \cos \alpha}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} = g \cdot \frac{\tg \alpha- \mu}{1 + \mu \tg \alpha} \quad (5)\) Подставим \((4)\) и \((5)\) в \((3)\): \(F = (M + m)a = (M + m) \cdot g \cdot \frac{\tg \alpha- \mu}{1 + \mu \tg \alpha}\) Ответ: \(F = \frac{(M + m)g (\tg \alpha- \mu)}{1 + \mu \tg \alpha}\)