Цилиндрический сосуд разделен легким подвижным поршнем на две части. В одной части находится аргон, в другой — гелий. Концентрация атомов аргона в \(2\) раза больше концентрации атомов гелия. Поршень может двигаться без трения. Определите отношение средней кинетической энергии теплового движения атома аргона к средней кинетической энергии атома гелия при равновесии поршня.

Условия равновесия. Давления газов по обе стороны поршня равны: \(p_{Ar} = p_{He}\)Связь давления со средней кинетической энергией: \(p = \frac{2}{3}nE_k\) Выражение для давлений. Для аргона: \(p_{Ar} = \frac{2}{3}n_{Ar}E_{k,Ar}\)Для гелия: \(p_{He} = \frac{2}{3}n_{He}E_{k,He}\) Приравнивание давлений: \(\frac{2}{3}n_{Ar}E_{k,Ar} = \frac{2}{3}n_{He}E_{k,He}\)Упрощая: \(n_{Ar}E_{k,Ar} = n_{He}E_{k,He}\) Подстановка условия \(n_{Ar} = 2n_{He}\): \(2n_{He}E_{k,Ar} = n_{He}E_{k,He}\) Сокращая \(n_{He}\): \(2E_{k,Ar} = E_{k,He}\) \(\frac{E_{k,Ar}}{E_{k,He}} = \frac{1}{2}\) Ответ: Отношение средней кинетической энергии атома аргона к средней кинетической энергии атома гелия равно \(\frac{1}{2}.\) Обоснование: В равновесии давления газов равны. Давление выражается через концентрацию и среднюю кинетическую энергию. При большей концентрации аргона его частицы должны иметь меньшую среднюю энергию для обеспечения равного давления.

Снаряд массой \(m = 2\,\text{кг},\) летящий со скоростью \(v_0 = 200\,\frac{\text{м}}{\text{с}},\) разрывается на два осколка. Первый осколок массой \(m_1 = 1\,\text{кг}\) летит под углом \(90^\circ\) к первоначальному направлению со скоростью \(v_1 = 300\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.\) Определите скорость второго осколка \(v_2.\)

Импульс системы до разрыва равен векторной сумме импульсов осколков после разрыва: \(m\vec{v}_0 = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2\) где \(m_2 = m- m_1 = 1\,\text{кг}.\) Направим ось \(x\) вдоль начальной скорости \(\vec{v}_0,\) ось \(y\) — перпендикулярно. Первый осколок: \(p_{1x} = 0,\) \(p_{1y} = m_1v_1 = 1 \cdot 300 = 300\,\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}\) Второй осколок: \(p_{2x} = m_2v_{2x},\) \(p_{2y} = m_2v_{2y}\) Начальный импульс: \(p_{0x} = mv_0 = 400\,\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}},\) \(p_{0y} = 0\) По оси \(x\): \(400 = 1 \cdot v_{2x} \implies v_{2x} = 400\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) По оси \(y\): \(0 = 300- 1 \cdot v_{2y} \implies v_{2y} = 300\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) Нахождение скорости: \(v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{400^2 + 300^2} = 500\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) Ответ: скорость второго осколка составляет \(v_2 = 500\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.\)

Во время опыта абсолютная температура воздуха в сосуде понизилась в \(2\) раза, и он перешел из состояния \(1\) в состояние \(2.\) Кран у сосуда был закрыт неплотно, и сквозь него мог просачиваться воздух. Рассчитайте отношение \(\dfrac{N_2}{N_1}\) количества молекул газа в сосуде в конце и начале опыта. Воздух считать идеальным газом. (Ответ округлить до сотых).

\(1.\) Записываем уравнение состояния идеального газа: \(p = nkT\) где \(n = \dfrac{N}{V}\) — концентрация молекул. \(2.\) Выражаем число молекул: \(N = \frac{pV}{kT}\) \(3.\) Находим отношение чисел молекул: \(\frac{N_2}{N_1} = \frac{p_2V_2/T_2}{p_1V_1/T_1}\) \(4.\) Учитываем, что температура понизилась в \(2\) раза \((\) \(T_2 = \dfrac{T_1}{2}){:}\) \(\frac{N_2}{N_1} = \frac{p_2V_2}{p_1V_1} \cdot \frac{T_1}{T_2} = \frac{p_2V_2}{p_1V_1} \cdot 2\) \(5.\) Подставляем значения из условия: \(\frac{N_2}{N_1} = \frac{2 \cdot 2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) \(6.\) Вычисляем десятичное значение и округляем до сотых: \(\frac{2}{3} \approx 0.666… \approx 0.67\) Ответ: отношение количества молекул равно \(0.67.\)

Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре \(T_1 = 600 \, \text{К}\) и давлении \(p_1 = 4 \cdot 10^5 \, \text{Па},\) расширяется и одновременно охлаждается так, что его давление при расширении обратно пропорционально квадрату объема. Конечное давление газа \(p_2 = 10^5 \, \text{Па}.\) Какую работу совершил газ при расширении, если он отдал холодильнику количество теплоты \(Q = 1\ 247 \, \text{Дж}?\)

Первое начало термодинамики. Газ отдал холодильнику тепло, поэтому: \(-Q = \Delta U + A\) где \(A\) — работа газа, \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии. Изменение внутренней энергии. Для одноатомного идеального газа: \(\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T\) где \(\nu = 1 \, \text{моль},\) \(R = 8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)},\) \(\Delta T = T_2- T_1.\) Связь давления и объема. По условию давление обратно пропорционально квадрату объема: \(p = \frac{\alpha}{V^2}\) где \(\alpha\) — постоянная. Отсюда: \(V = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{p}}\) Уравнение состояния идеального газа: \(pV = \nu RT\) Подставляем выражение для \(V\): \(p \cdot \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{p}} = \nu RT\) \(\sqrt{\alpha p} = \nu RT\) Нахождение конечной температуры \(T_2.\) Для начального и конечного состояний: \(\sqrt{\alpha p_1} = \nu R T_1\) \(\sqrt{\alpha p_2} = \nu R T_2\) Делим второе уравнение на первое: \(\sqrt{\frac{p_2}{p_1}} = \frac{T_2}{T_1}\) \(T_2 = T_1 \sqrt{\frac{p_2}{p_1}} = 600 \cdot \sqrt{\frac{10^5}{4 \cdot 10^5}} = 600 \cdot \frac{1}{2} = 300 \, \text{К}\) Вычисление \(\Delta U\): \(\Delta U = \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot 8.31 \cdot (300- 600) = \frac{3}{2} \cdot 8.31 \cdot (-300) = -3\ 739.5 \, \text{Дж}\) Из первого начала термодинамики: \(A = -Q- \Delta U = -1\ 247- (-3\ 739.5) = 2\ 492.5 \, \text{Дж}\) Округляем до целых: \(A \approx 2\ 493 \, \text{Дж}\) Ответ: \(\approx 2\ 493 \, \text{Дж}.\)

Проводник массой \(m = 40 \space \text{г} = 0.04 \space \text{кг}\) и длиной \(l = 10 \space \text{см} = 0.1 \space \text{м}\) равномерно скользит вниз в однородном магнитном поле с индукцией \(B = 0.4 \space \text{Тл}\), вектор которого направлен от наблюдателя. При этом на конденсаторе накапливается заряд \(q = 8 \space \text{мкКл} = 8 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл}.\) Найдите энергию, которая накопится на конденсаторе, если сопротивление резистора \(R = 5 \space \text{мОм} = 5 \cdot 10^{-3} \space \text{Ом}.\)

\(1.\) При движении проводника в магнитном поле в нем индуцируется \(ЭДС\) индукции \(\mathcal{E}_i = B l v.\) \(2.\) По закону Ома для полной цепи сила тока в контуре \(I = \dfrac{\mathcal{E}_i}{R} = \dfrac{B l v}{R}.\) \(3.\) На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера \(F_A = B I l = B \cdot \dfrac{B l v}{R} \cdot l = \dfrac{B^2 l^2 v}{R},\) направленная вверх. \(4.\) При равномерном движении проводника по второму закону Ньютона: \(F_A = mg \quad \Rightarrow \quad \dfrac{B^2 l^2 v}{R} = mg\) \(5.\) Выражаем скорость движения проводника: \(v = \dfrac{mg R}{B^2 l^2}\) \(6.\) Напряжение на конденсаторе равно ЭДС индукции: \(U = \mathcal{E}_i = B l v = B l \cdot \dfrac{mg R}{B^2 l^2} = \dfrac{mg R}{B l}\) \(7.\) Энергия конденсатора: \(W = \dfrac{q U}{2} = \dfrac{q}{2} \cdot \dfrac{mg R}{B l}\) \(8.\) Подставляем числовые значения: \(q = 8 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл},\) \(m = 0.04 \space \text{кг},\) \(g = 10 \space \text{м/с}^2,\) \(R = 5 \cdot 10^{-3} \space \text{Ом},\) \(B = 0.4 \space \text{Тл},\) \(l = 0.1 \space \text{м}{:}\) \(W = \dfrac{8 \cdot 10^{-6} \cdot 0.04 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 0.4 \cdot 0.1} = \dfrac{1.6 \cdot 10^{-8}}{0.08} = 2 \cdot 10^{-7} \space \text{Дж} = 0.2 \space \text{мкДж}\) Ответ: энергия на конденсаторе равна \(0.2 \space \text{мкДж}.\)