Система грузов \(M,\) \(m_1\) и \(m_2\) движется из состояния покоя. Поверхность стола горизонтальная и гладкая. Коэффициент трения между грузами \(M\) и \(m_1\) равен \(\mu = 0.2.\) Грузы \(M\) и \(m_2\) соединены легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок без трения. Дано: \(M = 1.2\,\text{кг},\) \(m_1 = m_2 = m.\) При каких значениях массы \(m\) грузы \(M\) и \(m_1\) будут двигаться как единое целое? Обоснуйте применимость используемых физических законов.

Физическая модель и обоснование: Систему отсчета связываем со столом (инерциальная система). При совместном движении \(M\) и \(m_1\) рассматриваем как единое тело массой \(M + m.\) Нить невесома и нерастяжима ⇒ \(T_1 = T_2 = T,\) \(a_1 = a_2 = a.\) Блок идеальный (трение отсутствует). Для \(m_1\) сила трения покоя \(F_{тр} ≤ μN_1.\) Уравнения движения. Для системы \(M + m\): \((M + m)a = T \quad (1)\)Для груза \(m_2\): \(ma = mg- T \quad (2)\) Решение системы уравнений. Складываем \((1)\) и \((2)\): \((M + 2m)a = mg\)\(a = \frac{mg}{M + 2m} \quad (3)\) Условие для груза \(m_1.\) В проекции на горизонтальную ось: \(ma = F_{тр} ≤ μN_1 = μmg\) Подставляем ускорение из \((3)\): \(\frac{m^2g}{M + 2m} ≤ μmg\) \(\frac{m}{M + 2m} ≤ μ\) Находим предельное значение массы: \(m ≤ \frac{μM}{1- 2μ} = \frac{0.2 \cdot 1.2}{1- 0.4} = \frac{0.24}{0.6} = 0.4\,\text{кг}\) Ответ: грузы \(M\) и \(m_1\) будут двигаться как одно целое при \(m ≤ 0.4\,\text{кг}.\)

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости \(\vec{v}\) автомобиля от времени \(t\). Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от \(30\) до \(50\space с\) после начала движения. (Ответ дайте в метрах).

Путь численно равен площади под графиком Анализ графика: Форма графика на интервале \(30-50\space с\) — прямоугольный треугольник. Временной интервал: \(\Delta t = 50-30 = 20\space с.\) Изменение скорости: от \(10\space м/с\) до \(0\space м/с.\) Применяем формулу площади прямоугольного треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot\text{высота}\) \(4.\) Подставляем значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot20 \cdot10 = 100 \text{ м}\)

На горизонтальном столе лежит тело массой \(4\space кг.\) На него начинает действовать направленная вертикально вверх сила \(F.\) График зависимости модуля \(F\) этой силы от времени \(t\) показан на рисунке. Чему равен модуль ускорения тела через \(15\) секунд после начала действия данной силы? Трение отсутствует. Ответ дайте в \(м/с^2.\)

\(1.\) Анализ графика: Первые \(10\spaceс{:}\) \(F < mg\) \(( 40\space Н < 4 \cdot 10\space Н)\) → тело покоится. В момент \(t = 15 с{:}\) \(F = 60\space Н.\) \(2.\) Применяем второй закон Ньютона:\(F-mg = ma\) \(3.\) Выражаем ускорение:\(a = \frac{F-mg}{m}\) \(4.\) Подставляем значения:\(a = \frac{60-4 \cdot 10}{4} = \frac{20}{4} = 5\,м/с^2\)

Два тела движутся с одинаковой скоростью. Кинетическая энергия первого тела в \(4\) раза меньше кинетической энергии второго тела. Определите отношение масс тел \(\dfrac{m_1}{m_2}\).

Запишем выражения для кинетических энергий: — Для первого тела: \(E_{k1} = \frac{m_1 v^2}{2}\) — Для второго тела: \(E_{k2} = \frac{m_2 v^2}{2}\) 2. Учтем условие задачи: Кинетическая энергия первого тела в 4 раза меньше: \(E_{k2} = 4 E_{k1}\) 3. Подставим выражения для энергий: \(\frac{m_2 v^2}{2} = 4 \cdot \frac{m_1 v^2}{2}\) 4. Упростим уравнение: — Сократим общие множители (\(\frac{v^2}{2}\)): \(m_2 = 4 m_1\) — Выразим искомое отношение: \(\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{4} = 0,25\)

Скорость звука в воде составляет \(1.5\,\text{км/с}\). Определите длину звуковой волны при частоте \(3\,\text{кГц}\). Ответ дайте в метрах.

Перевод единиц: — Скорость звука: \(c = 1.5\,\text{км/с} = 1\ 500\,\text{м/с}\) — Частота: \(\nu = 3\,\text{кГц} = 3\ 000\,\text{Гц}\) 2. Формула связи длины волны, скорости и частоты: \(\lambda = \frac{c}{\nu}\) 3. Подстановка значений: \(\lambda = \frac{1\ 500\,\text{м/с}}{3\ 000\,\text{Гц}} = 0,5\,\text{м}\) 4. Проверка единиц измерения: \(\frac{\text{м/с}}{\text{Гц}} = \frac{\text{м/с}}{1/\text{с}} = \text{м}\)