Пылинка, имеющая массу \(m = 10^{-8} \space \text{г} = 10^{-11} \space \text{кг}\) и заряд \(q = -1.8 \cdot 10^{-14} \space \text{Кл},\) влетает в электрическое поле вертикального плоского конденсатора в точке, находящейся посередине между его пластинами. Чему должна быть равна минимальная скорость, с которой пылинка влетает в конденсатор, чтобы она смогла пролететь его насквозь? Длина пластин конденсатора \(l = 10 \space \text{см} = 0.1 \space \text{м}\), расстояние между пластинами \(d = 1 \space \text{см} = 0.01 \space \text{м},\) напряжение на пластинах конденсатора \(U = 5\space000 \space \text{В}.\) Система находится в вакууме.

\(1.\) Напряженность электрического поля в конденсаторе: \(E = \dfrac{U}{d}\) \(2.\) Сила, действующая на пылинку со стороны поля: \(F = |q| E = \dfrac{|q| U}{d}\) \(3.\) Ускорение пылинки вдоль оси \(Oy\) (перпендикулярно пластинам): \(a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{|q| U}{m d}\) \(4.\) Время пролета конденсатора вдоль оси \(Ox\): \(t = \dfrac{l}{v}\) \(5.\) Смещение пылинки вдоль оси \(Oy\) за время \(t\): \(s_y = \dfrac{a t^2}{2} = \dfrac{|q| U l^2}{2 m d v^2}\) \(6.\) Условие пролета насквозь: \(s_y \leq \dfrac{d}{2}\) \(7.\) Подставляем и находим минимальную скорость: \(\dfrac{|q| U l^2}{2 m d v^2} \leq \dfrac{d}{2} \quad \Rightarrow \quad v \geq \dfrac{l}{d} \sqrt{\dfrac{|q| U}{m}}\) \(8.\) Подставляем числовые значения: \(l = 0.1 \space \text{м},\) \(d = 0.01 \space \text{м},\) \(|q| = 1.8 \cdot 10^{-14} \space \text{Кл},\) \(U = 5\space000 \space \text{В},\) \(m = 10^{-11} \space \text{кг}{:}\) \(v = \dfrac{0.1}{0.01} \sqrt{\dfrac{1.8 \cdot 10^{-14} \cdot 5\space000}{10^{-11}}} = 10 \sqrt{\dfrac{9 \cdot 10^{-11}}{10^{-11}}} = 10 \sqrt{9} = 10 \cdot 3 = 30 \space \text{м/с}\) Ответ: минимальная скорость пылинки равна \(30 \space \text{м/с}.\)

Пластилиновый шарик бросают с горизонтальной поверхности Земли в момент времени \(t = 0\) под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0.\) Одновременно с высоты \(h\) начинает свободно падать второй такой же шарик. Шарики совершают абсолютно неупругое столкновение в воздухе, после чего их скорость становится горизонтальной. Время падения шариков на Землю после столкновения равно \(\tau.\) Найдите начальную скорость \(v_0\) первого шарика. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Кинематика движения до столкновения. Для первого шарика (брошенного под углом): \(y_1(t) = v_0 \sin \alpha \cdot t- \frac{gt^2}{2}\) \(v_{1y}(t) = v_0 \sin \alpha- gt\) Для второго шарика (свободное падение): \(v_{2y}(t) = -gt\) Условие столкновения. В момент столкновения \(t = t_1\) выполняется: \(y_1(t_1) = h- \frac{gt_1^2}{2}\) Из сохранения импульса по вертикали (так как после удара скорость горизонтальна): \(v_{1y}(t_1) + v_{2y}(t_1) = 0\) \((v_0 \sin \alpha- gt_1) + (-gt_1) = 0\)\(t_1 = \frac{v_0 \sin \alpha}{2g}\) Высота столкновения. Подставляем \(t_1\) в уравнение для \(y_1(t)\): \(h = \frac{3v_0^2 \sin^2 \alpha}{8g}\) Время падения после столкновения. После удара шарики движутся горизонтально, их вертикальная скорость равна нулю. Время падения с высоты \(h\): \(\tau = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{v_0 \sin \alpha}{2g} \sqrt{3}\) Находим \(v_0\): \(v_0 = \frac{2g\tau}{\sqrt{3} \sin \alpha}\) Ответ: \(v_0 = \frac{2g\tau}{\sqrt{3} \sin \alpha}.\)

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости \(v\) автомобиля от времени \(t\). Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от \(0\) до \(30\space с.\) (Ответ дайте в метрах).

\(1.\) Физический принцип: Путь численно равен площади под графиком зависимости модуля скорости от времени. \(2.\) Анализ графика: Форма графика на интервале \(0\) — \(30\space с\) — прямоугольная трапеция. Основания трапеции: \(30\space с\) и \(20\space с\) Высота трапеции: \(10\space м/с\) \(3.\) Применяем формулу площади трапеции: \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\) где \(a,\) \(b\) — основания, \(h\) — высота. \(4.\) Подставляем значения: \(S = \frac{30 + 20}{2} \cdot 10 = 250\,\text{м}\)

Брусок массой \(0.5\) кг равномерно двигают по горизонтальному столу, прикладывая к нему силу, направленную вдоль поверхности стола и равную по модулю \(2\space Н.\) С каким ускорением будет двигаться этот брусок, если увеличить модуль приложенной к нему силы до \(6\space Н,\) не меняя направления этой силы? Ответ запишите в метрах на секунду в квадрате.

\(1.\) Определяем силу трения при равномерном движении:\(F_{тр} = F_1 = 2\,\text{Н}\) \(2.\) Записываем второй закон Ньютона для нового случая:\(F_2-F_{тр} = m \cdot a\) \(3.\) Выражаем ускорение:\(a = \frac{F_2-F_{тр}}{m}\) \(4.\) Подставляем значения:\(a = \frac{6-2}{0.5} = \frac{4}{0.5} = 8\,\text{м/с}^2\)

Тело массой \(1\,\text{кг}\), подброшенное вертикально вверх, достигло максимальной высоты \(20\,\text{м}\). Определите кинетическую энергию тела сразу после броска. Ускорение свободного падения принять равным \(10\,\text{м/с}^2\).

Применяем закон сохранения механической энергии: Полная механическая энергия системы сохраняется: \(E_{\text{полн}} = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}} = \text{const}\) 2. Анализируем энергетические состояния: — В момент броска (у поверхности Земли): \(E_{\text{пот}} = 0\)\(E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2}\) — В верхней точке траектории: \(E_{\text{кин}} = 0\) \(E_{\text{пот}} = mgh\) 3. Приравниваем энергии: \(\frac{mv^2}{2} = mgh\) 4. Вычисляем кинетическую энергию: \(E_{\text{кин}} = mgh = 1\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 20\,\text{м} = 200\,\text{Дж}\)