В герметичном сосуде находится влажный воздух при давлении \(p = 100 \text{ кПа}\) и температуре \(t = 100^\circ \text{C}.\) Если изотермически уменьшить объем сосуда в \(3\) раза, установившееся давление окажется равным тому, которое получилось бы при изохорном нагреве системы до температуры в \(1.6\) раза больше исходной. Найти начальную относительную влажность воздуха.

Исходные данные. Давление насыщенного водяного пара при \(100^\circ \text{C}\): \(p_{нас} = 100 \text{ кПа}.\) Общее давление влажного воздуха: \(p = p_{возд} + p_{пар} = 100 \text{ кПа}.\) Относительная влажность: \(\varphi = \frac{p_{пар}}{p_{нас}}.\) Изотермическое сжатие \((\)процесс \(1-2).\) Объем уменьшается в \(3\) раза: \(V_2 = \frac{V_1}{3}.\) Для сухого воздуха (по закону Бойля-Мариотта): \(p_{возд_2} = 3p_{возд_1}\)Для водяного пара возможны два случая: \(а)\) Пар остается ненасыщенным: \(p_{пар_2} = 3p_{пар_1}.\) \(б)\) Пар становится насыщенным: \(p_{пар_2} = p_{нас} = 100 \text{ кПа}.\) Анализ условий. По условию, давление после сжатия равно давлению при изохорном нагреве: \(p_2 = p_3\)При изохорном нагреве \((\)процесс \(1-3)\): \(p_3 = 1.6p_1 = 160 \text{ кПа}\) Рассмотрим случай, когда пар становится насыщенным. Общее давление после сжатия: \(p_2 = p_{возд_2} + p_{пар_2} = 3p_{возд_1} + p_{нас}\)Выразим \(p_{возд1}\) через \(\varphi\): \(p_{возд_1} = p- p_{пар_1} = p- \varphi p_{нас} = 100- 100\varphi\)Подставим в уравнение для \(p_2\): \(p_2 = 3(100- 100\varphi) + 100 = 400- 300\varphi\)По условию \(p_2 = p_3 = 160 \text{ кПа}\): \(400- 300\varphi = 160\) \(300\varphi = 240\) \(\varphi = 0.8 = 80\%\) Проверка условия насыщения. Начальное парциальное давление пара: \(p_{пар_1} = \varphi p_{нас} = 80 \text{ кПа}\)После сжатия: \(p_{пар_2} = 3 \cdot 80 = 240 \text{ кПа} > p_{нас}\) Следовательно, пар действительно конденсируется, и его давление становится равным \(p_{нас}.\) Ответ: \(80\%.\)

В электрической схеме, показанной на рисунке, ключ \(K\) замкнут. Заряд конденсатора \(q = 2 \space \text{мкКл} = 2 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл},\) \(ЭДС\) батарейки \(\mathcal{E} = 24 \space \text{В},\) ее внутреннее сопротивление \(r = 5 \space \text{Ом},\) сопротивление резистора \(R = 25 \space \text{Ом}.\) Найдите количество теплоты, которое выделяется на резисторе после размыкания ключа \(K\) в результате разряда конденсатора. Потерями на излучение пренебречь.

\(1.\) При разомкнутом ключе конденсатор разряжается через резистор \(R.\) По закону сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся на резисторе, равно энергии, запасенной в конденсаторе: \(Q = W_C = \dfrac{q U}{2},\) где \(U\) — напряжение на конденсаторе. \(2.\) При замкнутом ключе конденсатор заряжен до напряжения \(U,\) которое равно падению напряжения на резисторе \(R.\) По закону Ома для полной цепи: \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{R + r}\) \(3.\) Напряжение на резисторе \(R\) (и на конденсаторе): \(U = I R = \dfrac{\mathcal{E} R}{R + r}\) \(4.\) Подставляем выражение для напряжения в формулу для теплоты: \(Q = \dfrac{q}{2} \cdot \dfrac{\mathcal{E} R}{R + r}\) \(5.\) Подставляем числовые значения: \(q = 2 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл},\) \(\mathcal{E} = 24 \space \text{В},\) \(R = 25 \space \text{Ом},\) \(r = 5 \space \text{Ом}{:}\) \(Q = \dfrac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 24 \cdot 25}{2 \cdot (25 + 5)} = \dfrac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 24 \cdot 25}{2 \cdot 30} = \dfrac{1\space200 \cdot 10^{-6}}{60} = 20 \cdot 10^{-6} \space \text{Дж} = 20 \space \text{мкДж}\) Ответ: количество теплоты, выделяющееся на резисторе, равно \(20 \space \text{мкДж}.\)

Снаряд массой \(4 \, \text{кг},\) летящий со скоростью \(400 \, \text{м/с},\) разрывается на две равные части, одна из которых летит в направлении движения снаряда, а другая — в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличилась на величину \(\Delta E = 0.5 \, \text{МДж}.\) Определите скорость осколка, летящего по направлению движения снаряда.

Обоснование. Задачу решаем в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Трением о воздух пренебрегаем. Время разрыва считаем малым, поэтому изменением потенциальной энергии и действием силы тяжести можно пренебречь. Используем законы сохранения импульса и энергии. Закон сохранения импульса:\(2m \cdot v_0 = m \cdot v_1 + m \cdot v_2\)где: \(2m = 4 \, \text{кг}\) — масса снаряда, \(m = 2 \, \text{кг}\) — масса каждого осколка, \(v_0 = 400 \, \text{м/с}\) — начальная скорость снаряда, \(v_1\) — скорость осколка, летящего вперед, \(v_2\) — скорость осколка, летящего назад. Упрощаем уравнение:\(2v_0 = v_1 + v_2\) Закон сохранения энергии:\(\Delta E = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2}- \frac{2mv_0^2}{2}\) где \(\Delta E = 0.5 \cdot 10^6 \, \text{Дж}.\) Упрощаем:\(\Delta E = \frac{m}{2} (v_1^2 + v_2^2- 2v_0^2)\) Выражаем \(v_2\) через \(v_1.\) Из закона сохранения импульса: \(v_2 = 2v_0- v_1\) Подставляем \(v_2\) в уравнение энергии: \(\Delta E = \frac{m}{2} \left(v_1^2 + (2v_0- v_1)^2- 2v_0^2\right)\) \(\Delta E = \frac{m}{2} \left(v_1^2 + 4v_0^2- 4v_0v_1 + v_1^2- 2v_0^2\right)\) \(\Delta E = \frac{m}{2} (2v_1^2- 4v_0v_1 + 2v_0^2)\) Делим на \(2\):\(\Delta E = m (v_1^2- 2v_0v_1 + v_0^2)\) Замечаем полный квадрат: \(\Delta E = m (v_1- v_0)^2\) Находим \(v_1\):\(v_1- v_0 = \sqrt{\frac{\Delta E}{m}}\) Подставляем значения:\(v_1 = v_0 + \sqrt{\frac{0.5 \cdot 10^6}{2}} = 400 + \sqrt{0.25 \cdot 10^6}\) \(= 400 + 500 = 900 \, \text{м/с}\) Ответ: \(v_1 = 900 \, \text{м/с}.\)

На рисунке представлен график зависимости координаты \(x\) тела, движущегося вдоль оси \(Ox,\) от времени \(t.\) Чему равна проекция скорости тела \(v_x\) в интервале времени от \(30\) до \(50\) секунд?

\(1.\) Физический принцип: Проекция скорости определяется как производная координаты по времени: \(v_x = \frac{dx}{dt}\) Для линейного участка графика \(x(t)\) скорость постоянна. \(2.\) Анализ графика: Координата изменяется линейно на интервале \(30\) — \(50\space с\) Начальная координата: \(x(30) = 100\space м\) Конечная координата: \(x(50) = 200\space м\) Временной интервал: \(\Delta t = 20\space с\) \(3.\) Вычисление скорости: \(v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{200-100}{50-30} = \frac{100}{20} = 5\,\text{м/с}\)

На гладкой горизонтальной поверхности находится маленький брусок. Если приложить к нему силу, направленную вдоль данной поверхности и равную по модулю \(8\space Н,\) то брусок будет двигаться с ускорением \(a_1.\) Если приложить к этому бруску две взаимно перпендикулярные силы, направленные вдоль данной поверхности и равные по модулю \(8\space Н\) и \(6\space Н,\) то брусок будет двигаться с ускорением \(a_2.\) Найдите отношение модулей ускорений \(\dfrac{a_2}{a_1}.\) Ответ округлите до сотых долей.

Второй закон Ньютона. Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил и обратно пропорционально его массе: \(\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}\) \(1.\) Для первого случая (одна сила): \(a_1 = \frac{F_1}{m} = \frac{8}{m}\) \(2.\) Для второго случая (две перпендикулярные силы). Находим равнодействующую силу по теореме Пифагора:\(F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\,\text{Н}\) Применяем второй закон Ньютона:\(a_2 = \frac{F}{m} = \frac{10}{m}\) \(3.\) Находим отношение ускорений: \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{10}{m}}{\frac{8}{m}} = \frac{10}{8} = 1.25\)