Чему равен \(КПД\) цикла, проводимого с идеальным одноатомным газом? Ответ приведите в процентах, округлить до целых.

\(1.\) \(КПД\) тепловой машины:\(\eta = \frac{A}{Q_1} \cdot 100\%\) \(2.\) Полезная работа за цикл (площадь треугольника): \(A = \frac{1}{2} \cdot (4p_0 -p_0) \cdot (2V_0 -V_0) = \frac{3}{2}p_0V_0\) \(3.\) Тепло, полученное на участке \(1-2\) (изохорный процесс): \(\Delta U_{12} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} \cdot 3p_0V_0 = \frac{9}{2}p_0V_0\) \(Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{9}{2}p_0V_0\) \(4.\) Тепло, полученное на участке \(2-3\) (изобарный процесс): \(A_{23} = 4p_0 \cdot V_0 = 4p_0V_0\) \(\Delta U_{23} = \frac{3}{2} \cdot 4p_0 \cdot V_0 = 6p_0V_0\) \(Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 6p_0V_0 + 4p_0V_0 = 10p_0V_0\) \(5.\) Суммарное полученное тепло: \(Q_1 = Q_{12} + Q_{23} = \frac{9}{2}p_0V_0 + 10p_0V_0 = \frac{29}{2}p_0V_0\) \(6.\) Вычисляем \(КПД{:}\) \(\eta = \frac{\frac{3}{2}p_0V_0}{\frac{29}{2}p_0V_0} \cdot 100\% = \frac{3}{29} \cdot 100\% \approx 10.34\%\) \(7.\) Округляем до целых: \(\eta \approx 10\%\) Ответ: \(КПД\) цикла равен \(10\%.\)

В вертикальном цилиндре с легким подвижным поршнем находится ацетон \(( C_3H_6O )\) при температуре кипения \(t = 56^\circ C.\) При подведении теплоты \(Q\) часть ацетона испаряется, а образовавшийся пар совершает работу \(A\) при изобарном расширении. Удельная теплота парообразования ацетона \(L = 524 \cdot 10^3 \, \text{Дж/кг},\) молярная масса \(M = 58 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль}.\) Какая доля подведенной теплоты идет на увеличение внутренней энергии системы? Объемом жидкой фазы пренебречь.

Первое начало термодинамики. \(Q = \Delta U + A\)где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии, \(A\) — работа пара. Работа расширения пара. При изобарном процессе: \(A = p\Delta V\) Используя уравнение Менделеева-Клапейрона для испарившейся массы \(\Delta m\): \(p\Delta V = \frac{\Delta m}{M}RT\) где \(T = 329 \, \text{K}\) \((56°C\) в кельвинах\(),\) \(R = 8.314 \, Дж/(моль·К).\) Теплота парообразования: \(Q = \Delta m L\) Доля теплоты на изменение внутренней энергии: \(\frac{\Delta U}{Q} = 1- \frac{A}{Q} = 1- \frac{\frac{\Delta m}{M}RT}{\Delta m L} = 1- \frac{RT}{ML}\) Численный расчет: \(\frac{\Delta U}{Q} = 1- \frac{8.314 \cdot 329}{58 \cdot 10^{-3} \cdot 524 \cdot 10^3}\)\(\frac{\Delta U}{Q} = 1- \frac{2\ 734.706}{30\ 392} \approx 1- 0.09 = 0.91\) Ответ: \(\frac{\Delta U}{Q} = 0.91.\)

Электрическая цепь состоит из источника тока и реостата. \(ЭДС\) источника \(\mathcal{E} = 6 \space \text{В},\) его внутреннее сопротивление \(r = 2 \space \text{Ом}.\) Сопротивление реостата можно изменять в пределах от \(1 \space \text{Ом}\) до \(5 \space \text{Ом}.\) Чему равна максимальная мощность тока, выделяемая на реостате?

\(1.\) Мощность, выделяемая на реостате: \(P = I^2 R\) где \(I\) — сила тока в цепи, \(R\) — сопротивление реостата. \(2.\) По закону Ома для полной цепи: \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{R + r}\) \(3.\) Подставляем выражение для тока в формулу мощности: \(P = \left( \dfrac{\mathcal{E}}{R + r} \right)^2 R = \dfrac{\mathcal{E}^2 R}{(R + r)^2}\) \(4.\) Максимум мощности достигается при условии \(R = r\) (теорема о максимальной мощности). Проверяем, что \(R = 2 \space \text{Ом}\) находится в диапазоне \(1 -5 \space \text{Ом}.\) \(5.\) Максимальная мощность: \(P_{\text{max}} = \dfrac{\mathcal{E}^2}{4r} = \dfrac{6^2}{4 \cdot 2} = \dfrac{36}{8} = 4.5 \space \text{Вт}\) Ответ: максимальная мощность тока, выделяемая на реостате, равна \(4.5 \space \text{Вт}.\)

Пластилиновый шарик в момент \(t = 0\) бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью \(\vec{v}_0 ,\) направленной под углом \(\alpha\) к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения их скорость направлена горизонтально. В какой момент времени \(\tau\) шарики упадут на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Обоснование. Систему отсчета свяжем с Землей, считая ее инерциальной. Шарики движутся поступательно, поэтому их можно рассматривать как материальные точки. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому движение шариков до столкновения описывается законами равноускоренного движения в поле тяжести Земли. При столкновении внутренние силы взаимодействия значительно превышают силу тяжести, поэтому можно применить закон сохранения импульса. Движение шариков до столкновения. Введем систему координат: ось \(OX\) — горизонтальная, ось \(OY\) — вертикальная вверх. Начало координат — точка старта первого шарика. Для первого шарика (брошенного под углом \(\alpha\)): \(y_1(t) = v_0 \sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}\) \(v_{y1}(t) = v_0 \sin \alpha- g t\) Для второго шарика (падающего из состояния покоя): \(v_{y2}(t) = -g t\) Условие столкновения. После неупругого столкновения скорость шариков направлена горизонтально, значит, вертикальная составляющая скорости равна нулю: \(m v_{y1} + m v_{y2} = 0\)Отсюда:\(v_{y1} = -v_{y2}\) Подставляем выражения для \(v_{y1}\) и \(v_{y2}\): \(v_0 \sin \alpha- g t = g t\) Находим время до столкновения \(\tau_1\): \(\tau_1 = \frac{v_0 \sin \alpha}{2g}\) Высота столкновения. Подставляем \(\tau_1\) в выражение для \(y_1(t)\): \(h = y_1(\tau_1) = v_0 \sin \alpha \cdot \tau_1- \frac{g \tau_1^2}{2}\) После подстановки: \(h = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}- \frac{g v_0^2 \sin^2 \alpha}{8g^2} = \frac{3 v_0^2 \sin^2 \alpha}{8g}\) Время падения после столкновения. После столкновения вертикальная скорость шариков равна нулю, поэтому время падения \(\tau_2\) определяется из уравнения свободного падения: \(h = \frac{g \tau_2^2}{2}\) Отсюда: \(\tau_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{3 v_0^2 \sin^2 \alpha}{4g^2}} = \frac{v_0 \sin \alpha \sqrt{3}}{2g}\) Общее время падения:\(\tau = \tau_1 + \tau_2 = \frac{v_0 \sin \alpha}{2g} + \frac{v_0 \sin \alpha \sqrt{3}}{2g} = \frac{(1 + \sqrt{3}) v_0 \sin \alpha}{2g}\) Ответ: \(\tau = \frac{(1 + \sqrt{3}) v_0 \sin \alpha}{2g}.\)

Небольшое тело начинает равноускоренно двигаться вдоль оси \(OX\) без начальной скорости. На рисунке приведен график зависимости координаты \(x\) этого тела от времени \(t\). Чему равна проекция скорости \(v_x\) этого тела в момент времени \(t = 3\space с?\) (Ответ дайте в метрах в секунду).

\(1.\) Используем формулу равноускоренного движения без начальной скорости: \(x = \frac{at^2}{2}\) \(2.\) Находим ускорение по точке графика при \(t = 2\space с,x = 4\space м{:}\) \(a = \frac{2x}{t^2} = \frac{2 \cdot 4}{2^2} = 2\space м/с^2\) \(3.\) Вычисляем скорость в момент \(t = 3\space с\) по формуле: \(v = at = 2 \cdot 3 = 6\space м/с\)