Проекция скорости колеблющегося тела изменяется по закону \(v_x(t) = 0.5 \cos(4t)\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.\) Определить модуль ускорения тела в момент, когда проекция скорости равна \(30\,\frac{\text{см}}{\text{с}}.\)

Ускорение — производная скорости по времени: \(a_x(t) = \frac{dv_x}{dt} = -0.5 \cdot 4 \sin(4t) = -2 \sin(4t)\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\) Определяем момент времени. Приводим заданную скорость к \(СИ\): \(30\,\frac{\text{см}}{\text{с}} = 0.3\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) Решаем уравнение для \(t\): \(0.5 \cos(4t) = 0.3 \implies \cos(4t) = 0.6\) Находим \(\sin(4t)\): \(\sin(4t) = \sqrt{1- \cos^2(4t)} = \sqrt{1- 0.36} = 0.8\) Подставляем в уравнение ускорения: \(a_x = -2 \cdot 0.8 = -1.6\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\) Модуль ускорения: \(|a_x| = 1.6\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\) Ответ: модуль ускорения тела равен \(1.6\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\)

В закрытом сосуде под поршнем находится \(4\,\text{г}\) насыщенного водяного пара. Двигая поршень, занимаемый паром объем уменьшили в \(2\) раза, поддерживая температуру сосуда и его содержимого постоянной и равной \(100^\circ\text{C}.\) Какое количество теплоты было при этом отведено от сосуда?

\(1.\) При уменьшении объема в \(2\) раза при постоянной температуре конденсируется половина пара: \(\Delta m = \frac{4}{2} = 2\,\text{г} = 0.002\,\text{кг}\) \(2.\) Изменение внутренней энергии при конденсации: \(\Delta U = -L \cdot \Delta m = -2.3 \cdot 10^6 \cdot 0.002 = -4\space600\,\text{Дж}\) \(3.\) Работа, совершенная над системой при сжатии:\(A = p \Delta V = \frac{p V_0}{2}\) \(4.\) Используем уравнение состояния идеального газа: \(p V_0 = \frac{m}{M} R T\) \(A = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{M} R T = \frac{1}{2} \cdot \frac{0.004}{0.018} \cdot 8.31 \cdot 373 \approx 344\,\text{Дж}\) \(5.\) По первому началу термодинамики: \(Q = A -\Delta U = 344 -(-4\space600) = 4\space944\,\text{Дж} \approx 5\,\text{кДж}\) Ответ: отведенное количество теплоты составляет \(5\,\text{кДж}.\)

В вертикальном цилиндре с легким подвижным поршнем находится этиловый спирт \(( C_2H_6O )\) при температуре кипения \(t = 78^\circ C.\) При подведении теплоты \(Q\) часть спирта испаряется, а образовавшийся пар совершает работу \(A\) при изобарном расширении. Удельная теплота парообразования спирта \(L = 846 \cdot 10^3 \, \text{Дж/кг},\) молярная масса \(M = 46 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль}.\) Какая доля подведенной теплоты преобразуется в работу? Объемом жидкой фазы пренебречь.

Первое начало термодинамики: \(Q = \Delta U + A\)где \(A\) — работа пара, \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии. Работа расширения пара. При изобарном процессе: \(A = p\Delta V\)Используя уравнение Менделеева-Клапейрона для испарившейся массы \(\Delta m\): \(p\Delta V = \frac{\Delta m}{M}RT\)где \(T = 351 \, \text{K}\) (78°C в кельвинах), \(R = 8.31 \, Дж/(моль·К).\) Теплота парообразования: \(Q = \Delta m L\) \(КПД\) преобразования теплоты в работу: \(\eta = \frac{A}{Q} = \frac{\frac{\Delta m}{M}RT}{\Delta m L} = \frac{RT}{ML}\) Численный расчет: \(\eta = \frac{8.31 \cdot 351}{46 \cdot 10^{-3} \cdot 846 \cdot 10^3}\) \(\eta = \frac{2\ 916.81}{38\ 916} \approx 0.075\) Ответ: \(\eta \approx 0.075.\)

Источник постоянного напряжения с \(ЭДС\) \(\mathcal{E} = 100 \space \text{В}\) подключен через резистор к конденсатору, расстояние между пластинами которого можно изменять. Пластины раздвинули, совершив при этом работу \(A = 90 \space \text{мкДж} = 9 \cdot 10^{-5} \space \text{Дж}\) против сил притяжения пластин. На какую величину изменилась емкость конденсатора, если за время движения пластин на резисторе выделилось количество теплоты \(Q = 40 \space \text{мкДж} = 4 \cdot 10^{-5} \space \text{Дж}?\) Потерями на излучение пренебречь.

\(1.\) При изменении расстояния между пластинами конденсатора изменяется его емкость. По закону сохранения энергии: \(A_{\text{ист}} + A = \Delta W + Q\) где \(A_{\text{ист}}\) — работа источника, \(A\) — работа против сил притяжения, \(\Delta W\) — изменение энергии конденсатора, \(Q\) — теплота на резисторе. \(2.\) Работа источника: \(A_{\text{ист}} = \mathcal{E} \Delta q = \mathcal{E}^2 \Delta C\) где \(\Delta q\) — изменение заряда конденсатора, \(\Delta C\) — изменение емкости. \(3.\) Изменение энергии конденсатора: \(\Delta W = W_2-W_1 = \dfrac{1}{2} \mathcal{E}^2 C_2- \dfrac{1}{2} \mathcal{E}^2 C_1 = \dfrac{1}{2} \mathcal{E}^2 \Delta C\) \(4.\) Подставляем в закон сохранения энергии: \(\mathcal{E}^2 \Delta C + A = \dfrac{1}{2} \mathcal{E}^2 \Delta C + Q\) \(5.\) Решаем уравнение относительно \(\Delta C\): \(\mathcal{E}^2 \Delta C -\dfrac{1}{2} \mathcal{E}^2 \Delta C = Q -A\) \(\dfrac{1}{2} \mathcal{E}^2 \Delta C = Q -A\) \(\Delta C = \dfrac{2(Q -A)}{\mathcal{E}^2}\) \(6.\) Подставляем числовые значения: \(Q = 4 \cdot 10^{-5} \space \text{Дж},\) \(A = 9 \cdot 10^{-5} \space \text{Дж},\) \(\mathcal{E} = 100 \space \text{В}{:}\) \(\Delta C = \dfrac{2(4 \cdot 10^{-5} -9 \cdot 10^{-5})}{10\space000} = \dfrac{2(-5 \cdot 10^{-5})}{10\space000} = \dfrac{-10^{-4}}{10\space000} = -10^{-8} \space \text{Ф}\) Ответ: емкость конденсатора уменьшилась на \(10^{-8} \space \text{Ф}.\)

На горизонтальной поверхности неподвижно закреплена абсолютно гладкая полусфера радиусом \(R = 2.5 \, \text{м} .\) С ее верхней точки из состояния покоя соскальзывает маленькое тело. В некоторой точке тело отрывается от полусферы и начинает свободное движение. Найдите скорость тела в момент отрыва от полусферы. Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.

Обоснование. Систему отсчета связываем с Землей, считая ее инерциальной. Тело рассматриваем как материальную точку, так как его размеры малы по сравнению с радиусом полусферы. Поскольку полусфера гладкая, сила трения отсутствует, и работа силы реакции опоры равна нулю (она перпендикулярна перемещению). Механическая энергия системы сохраняется. В момент отрыва сила реакции опоры \(N\) обращается в ноль. Закон сохранения энергии. В начальный момент (верхняя точка полусферы) тело обладает только потенциальной энергией: \(E_1 = mgR\) В момент отрыва тело имеет кинетическую и потенциальную энергию. Пусть \(h\) — высота точки отрыва над основанием полусферы:\(E_2 = \frac{mv^2}{2} + mgh\) По закону сохранения энергии: \(mgR = \frac{mv^2}{2} + mgh \quad (1)\) Условие отрыва. В момент отрыва сила реакции опоры \(N = 0 .\) На тело действует только сила тяжести \(mg ,\) проекция которой на радиальное направление равна \(mg \cos \theta ,\) где \(\theta\) — угол между вертикалью и радиусом, проведенным к точке отрыва. Центростремительное ускорение тела:\(a = \frac{v^2}{R}\) По второму закону Ньютона: \(mg \cos \theta = m \frac{v^2}{R} \quad (2)\) Из геометрии задачи: \(\cos \theta = \frac{h}{R} \quad (3)\) Решение системы уравнений. Подставляем \((3)\) в \((2)\):\(mg \frac{h}{R} = m \frac{v^2}{R} \implies v^2 = gh \quad (4)\) Подставляем \((4)\) в \((1)\):\(mgR = \frac{mgh}{2} + mgh\) \(\implies R = \frac{h}{2} + h \implies R = \frac{3h}{2} \implies h = \frac{2R}{3}\) Подставляем \(h\) обратно в \((4)\):\(v^2 = g \cdot \frac{2R}{3} \implies v = \sqrt{\frac{2gR}{3}}\) Численный расчет. Подставляем значения \(g = 10 \, \text{м/с}^2\) и \(R = 2.5 \, \text{м}\): \(v = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \cdot 2.5}{3}} = \sqrt{\frac{50}{3}} \approx 4.1 \, \text{м/с}\) Ответ: \(v \approx 4.1 \, \text{м/с}.\)