К колебательному контуру (с постоянной индуктивностью \(L\) и переменной емкостью \(C\)) подключен источник переменного напряжения с частотой \(ν.\) Ученик плавно увеличивал емкость конденсатора от \(C_{\min}\) до \(C_{\max}\) и обнаружил, что амплитуда силы тока в контуре постоянно возрастала. Объясните это наблюдение, используя законы электродинамики.

Собственная частота контура: \(ν0 = \frac{1}{2π\sqrt{LC}}\)При увеличении \(C\) от \(C_{\min}\) до \(C_{\max}\) частота \(ν_0\) уменьшается от \(ν_{0,\max} = \frac{1}{2π\sqrt{LC_{\min}}}\) до \(ν_{0,\min} = \frac{1}{2π\sqrt{LC{\max}}}.\) Максимальная амплитуда тока достигается при резонансе: \(ν = ν_0\)В данном эксперименте резонанс не был достигнут, так как амплитуда тока росла на всем интервале изменения \(C.\) Постоянный рост амплитуды означает, что частота источника \(ν\) была меньше минимальной собственной частоты: \(ν < ν_{0,\min}\) При увеличении \(C\) частота \(ν_0\) приближалась к \(ν,\) усиливая резонансный эффект, но не достигала его. Импеданс контура: \(Z = \sqrt{R^2 + \left(ωL — \frac{1}{ωC}\right)^2}\) уменьшался по мере роста \(C,\) что увеличивало амплитуду тока. Ответ: Амплитуда тока росла, потому что частота источника \(ν\) была ниже минимальной собственной частоты контура. Увеличение емкости приближало \(ν_0\) к \(ν,\) усиливая резонансный эффект.

Груз массой \(m = 2\,\text{кг},\) закрепленный на пружине жесткостью \(k = 200\,\frac{\text{Н}}{\text{м}},\) совершает гармонические колебания с амплитудой \(A = 10\,\text{см} = 0.1\,\text{м}.\) Определите максимальную скорость груза \(v_{\text{max}}.\)

Полная механическая энергия колебательной системы сохраняется. В крайних точках (при максимальном отклонении) энергия равна потенциальной энергии пружины: \(E_{\text{пот}}^{\text{max}} = \frac{kA^2}{2}\) В положении равновесия энергия переходит в кинетическую: \(E_{\text{кин}}^{\text{max}} = \frac{mv_{\text{max}}^2}{2}\) Приравниваем энергии: \(\frac{mv_{\text{max}}^2}{2} = \frac{kA^2}{2}\) Выражаем скорость: \(v_{\text{max}} = A \sqrt{\frac{k}{m}}\) Подставляем значения: \(v_{\text{max}} = 0.1 \cdot \sqrt{\frac{200}{2}} = 0.1 \cdot \sqrt{100} = 0.1 \cdot 10 = 1\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) Ответ: максимальная скорость груза составляет \(v_{\text{max}} = 1\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.\)

Поршень может свободно без трения перемещаться вдоль стенок горизонтального цилиндрического сосуда. В объеме, ограниченном дном сосуда и поршнем, находится воздух. Площадь поперечного сечения сосуда равна \(20\,\text{см}^2,\) расстояние от дна сосуда до поршня равно \(25\,\text{см},\) атмосферное давление \(100\,\text{кПа},\) давление воздуха в сосуде равно атмосферному. Поршень медленно перемещают на \(5\,\text{см}\) влево, при этом температура воздуха не меняется. Какую силу требуется приложить, чтобы удержать поршень в таком положении?

\(1.\) Переводим единицы в \(СИ{:}\) \(S = 20\,\text{см}^2 = 0.002\,\text{м}^2\) \(x_0 = 25\,\text{см} = 0.25\,\text{м}\) \(\Delta x = 5\,\text{см} = 0.05\,\text{м}\) \(p_a = 100\,\text{кПа} = 10^5\,\text{Па}\) \(2.\) Используем закон Бойля-Мариотта для изотермического процесса: \(p_1 V_1 = p_2 V_2\) \(p_a S x_0 = p S (x_0 -\Delta x)\) \(3.\) Находим давление под поршнем: \(p = p_a \cdot \frac{x_0}{x_0 -\Delta x} = 10^5 \cdot \frac{0.25}{0.20} = 1.25 \cdot 10^5\,\text{Па}\) \(4.\) Составляем уравнение равновесия поршня: \(p_a S + F = p S\) \(5.\) Выражаем силу: \(F = (p -p_a) S = (0.25 \cdot 10^5) \cdot 0.002 = 50\,\text{Н}\) Ответ: требуется приложить силу \(50\,\text{Н}.\)

Теплоизолированный цилиндр разделен подвижным теплопроводным поршнем на две части. В одной части цилиндра находится гелий, а в другой — аргон. В начальный момент температура гелия равна \(300\,\text{К},\) а аргона — \(900\,\text{К};\) объемы, занимаемые газами, одинаковы, а поршень находится в равновесии. Поршень медленно перемещается без трения. Теплоемкость поршня и цилиндра пренебрежимо мала. Чему равно отношение внутренней энергии гелия после установления теплового равновесия к его энергии в начальный момент?

Гелий и аргон описываются моделью идеального одноатомного газа. Внутренняя энергия \(U\) газа пропорциональна температуре \(T\) и числу молей \(\nu\): \(U = \frac{3}{2} \nu RT\) Связь между температурой, давлением и объемом идеального газа задается уравнением Клапейрона — Менделеева: \(pV = \nu RT\) Поршень находится в механическом равновесии, поэтому давления газов равны. В начальный момент объемы газов одинаковы \((V_1 = V_2 ),\) что дает: \(\nu_1 T_1 = \nu_2 T_2\) где \(T_1 = 300\,\text{К}\) — начальная температура гелия, \(T_2 = 900\,\text{К}\) — начальная температура аргона. Цилиндр теплоизолирован, и работа силы трения равна нулю, поэтому суммарная внутренняя энергия газов сохраняется: \(\frac{3}{2} \nu_1 R T_1 + \frac{3}{2} \nu_2 R T_2 = \frac{3}{2} (\nu_1 + \nu_2) R T\) где \(T\) — конечная температура газов после установления равновесия. Отсюда находим \(T\): \(T = \frac{\nu_1 T_1 + \nu_2 T_2}{\nu_1 + \nu_2}\) Подставляя \(\nu_1 T_1 = \nu_2 T_2,\) получаем: \(T = 2 \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}\) Отношение внутренней энергии гелия после установления равновесия к начальной энергии равно отношению температур: \(\frac{U_1^\text{кон}}{U_1^\text{нач}} = \frac{T}{T_1} = 2 \frac{T_2}{T_1 + T_2}\) Подставляя численные значения: \(\frac{U_1^\text{кон}}{U_1^\text{нач}} = 2 \cdot \frac{900}{300 + 900} = 2 \cdot \frac{900}{1200} = \frac{3}{2} = 1.5\) Ответ: отношение внутренней энергии гелия после установления теплового равновесия к его начальной энергии равно \(1.5.\)

В электрической схеме, показанной на рисунке, ключ \(K\) замкнут. \(ЭДС\) батарейки \(\mathcal{E} = 12 \space \text{В},\) емкость конденсатора \(C = 0.2 \space \text{мкФ} = 2 \cdot 10^{-7} \space \text{Ф}.\) Отношение внутреннего сопротивления батарейки к сопротивлению резистора \(k = \dfrac{r}{R} = 0.2.\) Найдите количество теплоты, которое выделится на резисторе после размыкания ключа \(K\) в результате разряда конденсатора.

\(1.\) При замкнутом ключе конденсатор заряжается до напряжения \(U,\) равного напряжению на резисторе \(R.\) \(2.\) По закону Ома для полной цепи сила тока: \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{R + r}\) \(3.\) Напряжение на резисторе \(R\) (и на конденсаторе): \(U = I R = \dfrac{\mathcal{E} R}{R + r} = \dfrac{\mathcal{E}}{1 + \dfrac{r}{R}} = \dfrac{\mathcal{E}}{1 + k}\) \(4.\) После размыкания ключа конденсатор разряжается через резистор \(R.\) По закону сохранения энергии количество теплоты, выделившееся на резисторе, равно энергии, запасенной в конденсаторе: \(Q = \dfrac{C U^2}{2} = \dfrac{C}{2} \left( \dfrac{\mathcal{E}}{1 + k} \right)^2\) \(5.\) Подставляем числовые значения: \(C = 2 \cdot 10^{-7} \space \text{Ф},\) \(\mathcal{E} = 12 \space \text{В},\) \(k = 0.2{:}\) \(Q = \dfrac{2 \cdot 10^{-7}}{2} \cdot \left( \dfrac{12}{1.2} \right)^2 = 10^{-7} \cdot (10)^2 = 10^{-7} \cdot 100 = 10^{-5} \space \text{Дж}\) Ответ: количество теплоты, выделившееся на резисторе, равно \(10^{-5} \space \text{Дж}.\)