Металлический стержень длиной \(l = 0.1 \space \text{м}\) и массой \(m = 10 \space \text{г} = 0.01 \space \text{кг},\) подвешенный на двух параллельных проводящих нитях длиной \(L = 1 \space \text{м},\) располагается горизонтально в однородном магнитном поле с индукцией \(B = 0.1 \space \text{Тл},\) как показано на рисунке. Вектор магнитной индукции направлен вертикально. На какой максимальный угол отклонятся от вертикали нити подвеса, если по стержню пропустить ток силой \(I = 10 \space \text{А}\) в течение \(t = 0.1 \space \text{с}?\) Угол \(\alpha\) отклонения нитей от вертикали за время протекания тока мал.

\(1.\) Сила Ампера, действующая на стержень: \(F_A = B I l = 0.1 \cdot 10 \cdot 0.1 = 0.1 \space \text{Н}\) \(2.\) Ускорение стержня в горизонтальном направлении: \(a = \frac{F_A}{m} = \frac{0.1}{0.01} = 10 \space \text{м/с}^2\) \(3.\) Скорость стержня в момент выключения тока: \(v = a t = 10 \cdot 0.1 = 1 \space \text{м/с}\) \(4.\) По закону сохранения энергии после прекращения тока кинетическая энергия переходит в потенциальную: \(\frac{m v^2}{2} = m g h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{v^2}{2g} = \frac{1}{2 \cdot 10} = 0.05 \space \text{м}\) \(5.\) Из геометрии подвеса: \(\cos \alpha = \frac{L -h}{L} = 1 -\frac{h}{L} = 1 -\frac{0.05}{1} = 0.95\) \(6.\) Находим угол: \(\alpha = \arccos(0.95) \approx 18^\circ\) Ответ: максимальный угол отклонения нитей от вертикали составит \(18^\circ.\)

Пластилиновый шарик бросают с горизонтальной поверхности Земли в момент \(t = 0\) с начальной скоростью \(v_0\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Одновременно с высоты \(H\) начинает падать из состояния покоя второй такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе, после чего их общая скорость направлена горизонтально. Точка падения находится на расстоянии \(L\) от места броска. Найдите начальную скорость \(v_0 .\) Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте используемые физические законы.

Обоснование. Используем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей. Шарики считаем материальными точками. До столкновения движение описывается законами равноускоренного движения с \(\vec{g} .\) При столкновении внутренние силы \(>>\) силы тяжести \(→\) закон сохранения импульса. После удара скорость горизонтальна \(→\) вертикальная составляющая импульса системы \(= 0.\) Движение до столкновения. Для первого шарика: \(y_1 = v_0 \sin \alpha \cdot t- \frac{gt^2}{2}\) \(v_{y1} = v_0 \sin \alpha- gt\) \(x_1 = v_0 \cos \alpha \cdot t\)Для второго шарика: \(v_{y2} = -gt\) Условие горизонтальной скорости после удара: \(m(v_0 \sin \alpha- gt) + m(-gt) = 0 \implies t = \frac{v_0 \sin \alpha}{2g}\) Координаты в момент столкновения. Высота:\(h = \frac{3v_0^2 \sin^2 \alpha}{8g}\) Горизонтальное перемещение:\(L_1 = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{4g}\) Движение после столкновения. Горизонтальная скорость:\(u = \frac{v_0 \cos \alpha}{2}\)Время падения:\(\tau = \frac{\sqrt{3}v_0 \sin \alpha}{2g}\)Дальность:\(L_2 = \frac{\sqrt{3}v_0^2 \sin 2\alpha}{8g}\) Общая дальность:\(L = L_1 + L_2 = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{4g} \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) \(v_0 = \sqrt{\frac{8gL}{(2 + \sqrt{3}) \sin 2\alpha}}\) Ответ: \(v_0 = \sqrt{\frac{8gL}{(2 + \sqrt{3}) \sin 2\alpha}}.\)

Велосипедист, двигаясь под уклон, проехал расстояние между двумя пунктами со скоростью \(15\space км/ч.\) Обратно он ехал вдвое медленнее. Какова средняя путевая скорость на всем пути? (Ответ дайте в километрах в час).

\(1.\) Формула средней путевой скорости: \(v_{ср} = \dfrac{S}{t}\) где \(S\) — весь путь, \(t\) — все время. \(2.\) Пусть расстояние между пунктами \(L\space км.\) Тогда: Путь туда: \(L\space км\) со скоростью \(15\space км/ч.\) Путь обратно: \(L\space км\) со скоростью \(7.5\space км/ч.\) \(3.\) Вычисляем время: \(t_1 = \frac{L}{15}\space ч\space (туда)\) \(t_2 = \frac{L}{7.5} = \frac{2L}{15}\space ч \space(обратно)\) \(4.\) Общий путь и время: \(S = 2L\space км\) \(t = t_1 + t_2 = \frac{L}{15} + \frac{2L}{15} = \frac{3L}{15} = \frac{L}{5}\space ч\) \(5.\) Средняя скорость:\(v_{ср} = \frac{2L}{L/5} = 10\space км/ч\)

Под действием одной силы \(F_1\) тело движется с ускорением \(4\spaceм/с^2.\) Под действием другой силы \(F_2,\) направленной противоположно силе \(F_1,\) ускорение тела равно \(3\space м/с^2.\) С каким ускорением тело будет двигаться при одновременном действии сил \(F_1\) и \(F_2?\) Ответ дайте в метрах на секунду в квадрате.

Второй закон Ньютона. Ускорение тела пропорционально равнодействующей всех сил:\(a = \frac{F_{\text{равн}}}{m}\) \(1.\) Выражаем силы через ускорения: \(F_1 = m \cdot 4\,\text{м/с}^2, \quad F_2 = m \cdot 3\,\text{м/с}^2\) \(2.\) Находим равнодействующую противоположно направленных сил: \(F_{\text{равн}} = F_1-F_2 = 4m-3m = m\) \(3.\) Вычисляем результирующее ускорение: \(a = \frac{F_{\text{равн}}}{m} = \frac{m}{m} = 1\,\text{м/с}^2\)

Камень массой \(2\,\text{кг}\), брошенный вертикально вверх с поверхности Земли, обладает начальной кинетической энергией \(100\,\text{Дж}\). На какую максимальную высоту поднимется камень? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Ответ дайте в метрах.

Закон сохранения энергии: В момент броска камень обладает только кинетической энергией: \(E_{\text{кин}} = 100\,\text{Дж}\) В верхней точке подъема скорость камня равна нулю, поэтому вся кинетическая энергия перешла в потенциальную: \(E_{\text{пот}} = mgh\) 2. Приравнивание энергий: \(E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}}\) \(100\,\text{Дж} = 2\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot h\) 3. Вычисление высоты: \(h = \frac{100\,\text{Дж}}{20\,\text{кг}\cdot\text{м/с}^2} = 5\,\text{м}\)