Поезд начинает движение из состояния покоя с постоянным ускорением. За первые \(1\ 000\,\text{м}\) пути он достигает скорости \(v = 10\,\text{м/с}.\) Определите, какое расстояние \(s\) пройдет поезд за время \(t = 400\,\text{с}.\)

Используем формулу равноускоренного движения без начальной скорости: \(v^2 = 2a s_1 \implies a = \frac{v^2}{2s_1}\) Подставляем значения: \(a = \frac{10^2}{2 \cdot 1\ 000} = \frac{100}{2\ 000} = 0.05\,\text{м/с}^2\) Расчет пройденного пути за \(400\ с.\) Применяем формулу пути для равноускоренного движения: \(s = \frac{a t^2}{2}\) Подставляем ускорение и время: \(s = \frac{0.05 \cdot 400^2}{2} = \frac{0.05 \cdot 160\ 000}{2} = 4\ 000\,\text{м} = 4\,\text{км}\) Ответ: за \(400\,\text{с}\) поезд пройдет расстояние \(s = 4\,\text{км}.\)

При одном сопротивлении реостата вольтметр показывает \(6\,\text{В},\) амперметр — \(1\,\text{A}.\) При другом сопротивлении реостата показания приборов: \(4\,\text{В}\) и \(2\,\text{A}.\) Чему равно внутреннее сопротивление источника тока? Амперметр и вольтметр считать идеальными.

\(1.\) Записываем закон Ома для полной цепи для первого случая: \(\mathscr{E} = I_1 r + U_1 = 1 \cdot r + 6\) \(2.\) Записываем закон Ома для полной цепи для второго случая: \(\mathscr{E} = I_2 r + U_2 = 2 \cdot r + 4\) \(3.\) Приравниваем выражения для \(ЭДС{:}\) \(1 \cdot r + 6 = 2 \cdot r + 4\) \(4.\) Решаем уравнение: \(r + 6 = 2r + 4\) \(6 -4 = 2r -r\) \(2 = r\) Ответ: внутреннее сопротивление источника равно \(2\,\text{Ом}.\)

Два одинаковых теплоизолированных сосуда объемом \(V = 1\,\text{м}^3\) каждый соединены короткой трубкой с краном. В первом сосуде находится \(ν_1 = 1\,\text{моль}\) гелия при температуре \(T_1 = 450\,\text{K},\) во втором — \(ν_2 = 3\,\text{моль}\) аргона при температуре \(T_2 = 300\,\text{K}.\) Кран открывают. Определите давление \(p\) в сосудах после установления равновесного состояния. Газы считать идеальными.

Сохранение внутренней энергии. Так как система теплоизолирована и работа не совершается, суммарная внутренняя энергия сохраняется. Для одноатомных газов (гелий и аргон): \(\frac{3}{2}ν_1RT_1 + \frac{3}{2}ν_2RT_2 = \frac{3}{2}(ν_1 + ν_2)RT\) где \(T\) — конечная температура смеси. Сокращая \(\frac{3}{2}R,\) получаем: \(ν_1T_1 + ν_2T_2 = (ν_1 + ν_2)T\) Расчет конечной температуры: \(T = \frac{ν_1T_1 + ν_2T_2}{ν_1 + ν_2} = \frac{1 \cdot 450 + 3 \cdot 300}{1 + 3} = \frac{450 + 900}{4} = 337.5\,\text{K}\) Используем уравнение Менделеева-Клапейрона для конечного состояния: \(p \cdot 2V = (ν_1 + ν_2)RT\)Выражаем давление: \(p = \frac{(ν_1 + ν_2)RT}{2V} = \frac{(1 + 3) \cdot 8.31 \cdot 337.5}{2 \cdot 1}\)Вычисляем: \(p = \frac{4 \cdot 8.31 \cdot 337.5}{2} = 2 \cdot 8.31 \cdot 337.5 ≈ 5\ 600\,\text{Па} = 5.6\,\text{кПа}\) Ответ: давление в сосудах после установления равновесия составит \(5.6\,\text{кПа}.\)

Две частицы, имеющие отношение зарядов \(\dfrac{q_1}{q_2} = 2\) и отношение масс \(\dfrac{m_1}{m_2} = 4,\) влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции и движутся по окружностям с отношением радиусов \(\dfrac{R_1}{R_2} = 2.\) Определите отношение скоростей \(\dfrac{v_1}{v_2}\) этих частиц.

\(1.\) Для частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: \(B q v = \frac{m v^2}{R}\) \(2.\) Выражаем радиус траектории: \(R = \frac{m v}{B q}\) \(3.\) Для первой частицы: \(R_1 = \frac{m_1 v_1}{B q_1}\) Для второй частицы: \(R_2 = \frac{m_2 v_2}{B q_2}\) \(4.\) Находим отношение радиусов: \(\frac{R_1}{R_2} = \frac{m_1 v_1}{B q_1} \cdot \frac{B q_2}{m_2 v_2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{v_1}{v_2} \cdot \frac{q_2}{q_1}\) \(5.\) Выражаем отношение скоростей: \(\frac{v_1}{v_2} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{q_1}{q_2}\) \(6.\) Подставляем данные значения: \(\frac{v_1}{v_2} = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 = 1\) Ответ: отношение скоростей частиц \(\dfrac{v_1}{v_2} = 1.\)

Снаряд массой \(M = 9 \, \text{кг} ,\) летящий со скоростью \(v = 250 \, \text{м/с} ,\) разрывается на две части. Первая часть массой \(\frac{M}{3} = 3 \, \text{кг}\) продолжает движение в прежнем направлении со скоростью \(u_1 = 900 \, \text{м/с} ,\) а вторая часть массой \(\frac{2M}{3} = 6 \, \text{кг}\) начинает двигаться в противоположном направлении. Определите изменение суммарной энергии системы в результате взрыва. Обоснуйте применение физических законов.

Обоснование. Используем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей. Снаряд и его части считаем материальными точками. При разрыве выполняется закон сохранения импульса. Изменение энергии системы равно работе внутренних сил взрыва. Закон сохранения импульса:\(Mv = \frac{M}{3}u_1- \frac{2M}{3}u_2\) \(9 \cdot 250 = 3 \cdot 900- 6 \cdot u_2 \implies 2250 = 2700- 6u_2\) \(u_2 = \frac{2700- 2250}{6} = 75 \, \text{м/с}\) Кинетическая энергия до взрыва: \(E_{\text{нач}} = \frac{Mv^2}{2} = \frac{9 \cdot 250^2}{2} = 281250 \, \text{Дж}\) Кинетическая энергия после взрыва:\(E_{\text{кон}} = \frac{3 \cdot 900^2}{2} + \frac{6 \cdot 75^2}{2} = 1215000 + 16875 = 1231875 \, \text{Дж}\) Изменение энергии: \(\Delta E = E_{\text{кон}}- E_{\text{нач}} = 1231875- 281250 = 950625 \, \text{Дж}\) Ответ: \(\Delta E = 950625 \, \text{Дж}.\)