В сосуде объемом \(V\) с жесткими стенками находится одноатомный газ при атмосферном давлении \(p_0.\) В крышке сосуда имеется отверстие площадью \(S = 2 \cdot 10^{-4}\,\text{м}^2,\) заткнутое пробкой. Максимальная сила трения покоя \(F\) пробки о края отверстия равна \(100\,\text{Н}.\) Пробка выскакивает, если газу передать количество теплоты не менее \(Q = 15\,\text{кДж}.\) Определите значение \(V,\) полагая газ идеальным.

Условие выскакивания пробки. Пробка выскакивает, когда сила давления газа на пробку превышает сумму силы атмосферного давления и максимальной силы трения покоя: \(p_1 S \geq p_0 S + F\) где \(p_1\) — давление газа в момент выскакивания пробки. Отсюда минимальное давление \(p_1,\) при котором пробка выскакивает: \(p_1 \geq p_0 + \frac{F}{S}\) Первое начало термодинамики. Сосуд имеет жесткие стенки (\(\Delta V = 0\)), поэтому работа газа \(A = 0.\) Переданное тепло \(Q\) идет на изменение внутренней энергии: \(Q = \Delta U\) Изменение внутренней энергии. Для идеального одноатомного газа: \(\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T\)где \(\nu\) — количество вещества, \(R\) — универсальная газовая постоянная. Используем уравнение Клапейрона—Менделеева для начального и конечного состояний: \(p_0 V = \nu R T_0, \quad p_1 V = \nu R T_1\)Выразим разность температур: \(\Delta T = T_1- T_0 = \frac{V}{\nu R}(p_1- p_0)\)Подставим в выражение для \(\Delta U\): \(\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \cdot \frac{V}{\nu R}(p_1- p_0) = \frac{3}{2} V (p_1- p_0)\) Из условия выскакивания пробки: \(p_1- p_0 = \frac{F}{S}\)Тогда: \(\Delta U = \frac{3}{2} V \cdot \frac{F}{S}\) Так как \(Q = \Delta U,\) получаем: \(Q = \frac{3}{2} V \cdot \frac{F}{S}\)Отсюда объем сосуда: \(V = \frac{2 Q S}{3 F}\) Подставляем значения: \(V = \frac{2 \cdot 15000 \cdot 2 \cdot 10^{-4}}{3 \cdot 100} = \frac{2 \cdot 15000 \cdot 0.0002}{300} = \frac{6}{300} = 0.02\,\text{м}^3\) Ответ: \(V = 0.02\,\text{м}^3.\)

В горизонтальной плоскости находится рамка площадью \(S = 0.1 \space \text{м}^2,\) изготовленная из проводящего материала и имеющая сопротивление \(R = 5 \space \text{Ом}.\) После включения внешнего магнитного поля за время наблюдения проекция индукции поля на вертикальную ось \(O\) равномерно увеличивается от \(B_{y_1}\) до \(B_{y_2} = 0.6 \space \text{Тл},\) а по рамке протекает заряд \(q = 0.008 \space \text{Кл}\). Чему равна \(B_{y_1}?\)

\(1.\) Изменение магнитного потока через рамку: \(\Delta \Phi = (B_{y_2} -B_{y_1}) S\) \(2.\) \(ЭДС\) индукции: \(\mathcal{E}_i = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{(B{y_2} -B_{y_1}) S}{\Delta t}\) \(3.\) Сила индукционного тока: \(I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = \frac{(B{y_2} -B_{y_1}) S}{R \Delta t}\) \(4.\) Заряд, протекший через рамку: \(q = I \Delta t = \frac{(B_{y_2} -B_{y_1}) S}{R}\) \(5.\) Выражаем \(B_{y_1}{:}\) \(B_{y_1} = B_{y_2} -\frac{q R}{S}\) \(6.\) Подставляем числовые значения: \(B_{y_1} = 0.6 -\frac{0.008 \cdot 5}{0.1} = 0.6 -\frac{0.04}{0.1} = 0.6- 0.4 = 0.2 \space \text{Тл}\) Ответ: начальная индукция магнитного поля \(B_{y1} = 0.2 \space \text{Тл}.\)

Однородный стержень \(AB\) массой \(m = 1\,\text{кг}\) шарнирно закреплен в точке \(A\) и может свободно вращаться в плоскости рисунка. К нижнему концу стержня приложена горизонтальная сила \(\vec{F},\) в результате чего стержень устанавливается под углом \(\alpha\) к вертикали \((\tg\alpha = 0.8).\) Определите модуль силы реакции шарнира в этом положении равновесия.

Обоснование. Используем инерциальную систему отсчета. Стержень — абсолютно твердое тело. Условия равновесия: \(\sum\vec{F} = 0\) и \(\sum M_A = 0.\) Сила реакции шарнира \(\vec{R}\) имеет горизонтальную и вертикальную составляющие. Уравнения равновесия. Сумма сил по горизонтали: \(R_x = F \quad (1)\) Сумма сил по вертикали: \(R_y = mg \quad (2)\) Моменты сил относительно точки \(A\): \(F\cdot L\cos\alpha = mg\cdot\frac{L}{2}\sin\alpha \quad (3)\) Из уравнения \((3)\): \(F = \frac{mg\tan\alpha}{2} = \frac{1\cdot 10\cdot 0.8}{2} = 4\,\text{Н}\) Расчет силы реакции: \(R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{F^2 + (mg)^2}\) \(= \sqrt{4^2 + 10^2} = \sqrt{116} \approx 10.8\,\text{Н}\) Ответ: \(R \approx 10.8\,\text{Н}.\)

На рисунке представлен график зависимости координаты \(x\) велосипедиста от времени \(t.\) Чему равен наибольший модуль проекции скорости велосипедиста на ось \(Ox?\) (Ответ выразите в метрах в секунду).

\(1.\) Формула проекции скорости: \(v_x = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}\) \(2.\) Вычисляем скорость на каждом интервале: \(2.1.\) интервал \(0-10\space с{:}\) \(v_x = \dfrac{150\,\text{м} — 50\,\text{м}}{10\,\text{с}} = 10\,\text{м/с}\) \(2.2.\) интервал \(10-30\space с{:}\) \(v_x = \dfrac{100\,\text{м} — 150\,\text{м}}{20\,\text{с}} = -2.5\,\text{м/с}\) \(2.3.\) интервал \(30-50\space с{:}\) \(v_x = \dfrac{0\,\text{м} — 100\,\text{м}}{20\,\text{с}} = -5\,\text{м/с}\) \(2.4.\) интервал \(50-70\space с{:}\) \(v_x = \dfrac{150\,\text{м} — 0\,\text{м}}{20\,\text{с}} = 7.5\,\text{м/с}\) \(3.\) Находим наибольший модуль скорости: \(\max|v_x| = 10\,\text{м/с}\)

Точечное тело массой \(0.5\space кг\) находится на гладкой горизонтальной плоскости \(ХОУ.\) На это тело одновременно начинают действовать постоянные силы, векторы которых изображены на рисунке. Масштаб сетки на рисунке равен \(1\space Н.\) Чему равна проекция ускорения этого тела на ось \(OY?\)

Используем второй закон Ньютона в проекции на ось \(OY\): \(a_y = \frac{\sum F_{iy}}{m}\) \(1.\) Найдем сумму проекций сил на ось \(OY\): \(F_{1y} = 3\, \text{Н}\) \(F_{2y} = 0\, \text{Н}\) \(F_{3y} = -2\, \text{Н}\) \(\sum F_{iy} = 3 + 0-2 = 1\, \text{Н}\) \(2.\) Вычислим проекцию ускорения: \(a_y = \frac{1\, \text{Н}}{0.5\, \text{кг}} = 2\, \text{м/с}^2\)