Медное кольцо, диаметр которого \(D = 20 \space \text{см} = 0.2 \space \text{м},\) а диаметр сечения провода кольца \(d = 2 \space \text{мм} = 0.002 \space \text{м},\) расположено в однородном магнитном поле, модуль вектора магнитной индукции которого меняется со скоростью \(\dfrac{dB}{dt} = 2 \space \text{мТл/с} = 2 \cdot 10^{-3} \space \text{Тл/с}.\) Плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции. Удельное сопротивление меди \(\rho = 1.72 \cdot 10^{-8} \space \text{Ом} \cdot \text{м}.\) Какой заряд пройдет через кольцо за \(t = 1 \space \text{мин} = 60 \space \text{с}?\)

\(1.\) Площадь кольца: \(S = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0.2)^2}{4} = 0.01\pi \space \text{м}^2\) \(2.\) Изменение магнитного потока за время \(\Delta t\): \(\Delta \Phi = S \Delta B = S \frac{dB}{dt} \Delta t\) \(3.\) \(ЭДС\) индукции: \(\mathcal{E}_i = \left| \frac{d\Phi}{dt} \right| = S \frac{dB}{dt}\) \(4.\) Сопротивление кольца: Длина провода: \(l = \pi D = 0.2\pi \space \text{м}.\) Площадь сечения провода: \(S_c = \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{\pi (0.002)^2}{4} = \pi \cdot 10^{-6} \space \text{м}^2.\) Сопротивление: \(R = \dfrac{\rho l}{S_c} = \dfrac{1.72 \cdot 10^{-8} \cdot 0.2\pi}{\pi \cdot 10^{-6}} = 3.44 \cdot 10^{-3} \space \text{Ом}.\) \(5.\) Сила индукционного тока: \(I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = \frac{S \frac{dB}{dt}}{R}\) \(6.\) Заряд, прошедший через кольцо: \(q = I \Delta t = \frac{S \frac{dB}{dt} \Delta t}{R}\) \(7.\) Подставляем числовые значения: \(q = \frac{0.01\pi \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot 60}{3.44 \cdot 10^{-3}} = \frac{0.01 \cdot 3.14 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot 60}{3.44 \cdot 10^{-3}}\) \(= \frac{3.768 \cdot 10^{-3}}{3.44 \cdot 10^{-3}} = 1.095 \space \text{Кл}\) Ответ: через кольцо пройдет заряд \(1.1 \space \text{Кл}.\)

Однородный тонкий стержень массой \(m = 1\,\text{кг}\) длиной \(L\) шарнирно закреплен одним концом к потолку, а другим концом опирается на горизонтальную доску, образуя угол \(\alpha = 30^\circ.\) Доска движется влево с постоянной скоростью под действием силы \(F.\) Найдите величину \(F,\) если коэффициент трения между стержнем и доской \(\mu = 0.2.\) Трением доски о опору и трением в шарнире пренебречь.

Обоснование. Используем инерциальную систему отсчета. Доска движется равномерно \(( a = 0 ).\) Стержень находится в равновесии. Условия равновесия: \(\sum F = 0\) и \(\sum M = 0.\) Силы, действующие на систему. На доску: \(F\) (внешняя сила) и \(F_{тр1}\) (трение со стороны стержня). На стержень: \(mg\) (сила тяжести), \(N\) (реакция опоры), \(F_{тр2}\) (трение о доску), реакции шарнира \(T_x\) и \(T_y.\) Уравнения равновесия. Для доски: \(F = F_{тр1} = F_{тр2} \quad (1)\) Моменты сил для стержня (относительно шарнира): \(mg\frac{L}{2}\cos\alpha = F_{тр2}L\sin\alpha + NL\cos\alpha \quad (2)\) Сила трения:\(F_{тр2} = \mu N \quad (3)\) Из \((2)\) и \((3)\): \(\frac{mg}{2}\cos\alpha = \mu N\sin\alpha + N\cos\alpha\)\(N = \frac{mg\cos\alpha}{2(\mu\sin\alpha + \cos\alpha)}\) Подставляем в \((1)\): \(F = \mu N = \frac{\mu mg\cos\alpha}{2(\mu\sin\alpha + \cos\alpha)}\) Численный расчет: \(F = \frac{0.2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot \cos 30^\circ}{2(0.2\sin 30^\circ + \cos 30^\circ)} \approx 0.9\,\text{Н}\) Ответ: \(F \approx 0.9\,\text{Н}.\)

На рисунке представлен график зависимости координаты \(x\) велосипедиста от времени \(t.\) Чему равен наибольший модуль проекции скорости велосипедиста на ось \(Ox?\) (Ответ выразите в метрах в секунду).

\(1.\) Формула для определения проекции скорости: \(v_x = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}\) \(2.\) Вычисляем скорость на каждом интервале: \(2.1.\) Интервал \(0-10\space с{:}\) \(v_x = \dfrac{50-150}{10} = -10\space м/с\) \(2.2.\) Интервал \(10-30\space с{:}\) \(v_x = \dfrac{100-50}{20} = 2.5\space м/с\) \(2.3.\) Интервал \(30-50\space с{:}\) \(v_x = \dfrac{200-100}{20} = 5\space м/с\) \(2.4.\) Интервал \(50-70\space с{:}\) \(v_x = \dfrac{50-200}{20} = -7.5\space м/с\) \(3.\) Находим наибольший модуль скорости: \(\max|v_x| = 10\space м/с\)

На рисунке показаны силы (в заданном масштабе), действующие на материальную точку. Чему равен модуль равнодействующей силы? (Ответ дайте в ньютонах и округлите до десятых).

Используем принцип суперпозиции сил: \(\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3\) \(1.\) Сложим силы, направленные вдоль одной оси: \(\vec{F}_{2,3} = \vec{F}_2 + \vec{F}_3\) Так как \(F_3 > F_2,\) результирующая направлена в сторону \(\vec{F}_3{:}\) \(F_{2,3} = F_3-F_2\) \(2.\) Найдем модуль равнодействующей всех сил по теореме Пифагора: \(F = \sqrt{(F_3-F_2)^2 + F_1^2} = \sqrt{(4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\, \text{Н}\) \(3.\) Вычислим численное значение: \(2\sqrt{5} \approx 4.472 \approx 4.5\, \text{Н}\)

Легковой автомобиль движется со скоростью \(v_1 = 108\,\text{км/ч}\), а грузовик — со скоростью \(v_2 = 54\,\text{км/ч}\). Масса грузовика \(m = 3\ 000\,\text{кг}\). Определите массу легкового автомобиля \(M\), если импульс грузовика превышает импульс автомобиля на \(15\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с}\). Ответ дайте в килограммах.

Перевод скоростей в м/с: \(v_1 = 108\,\text{км/ч} = \frac{108}{3.6} = 30\,\text{м/с}\) \(v_2 = 54\,\text{км/ч} = \frac{54}{3.6} = 15\,\text{м/с}\) 2. Формулы импульсов: — Импульс автомобиля: \(p_1 = Mv_1 = M \cdot 30\,\text{м/с}\) — Импульс грузовика: \(p_2 = mv_2 = 3\ 000\,\text{кг} \cdot 15\,\text{м/с} = 45\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с}\) 3. Уравнение по условию задачи: \(p_2 = p_1 + 15\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с}\) \(45\ 000 = 30M + 15\ 000\) 4. Решение уравнения: \(30M = 45\ 000 — 15\ 000\) \(30M = 30\ 000\) \(M = \frac{30\ 000}{30} = 1\ 000\,\text{кг}\)