Однородный стержень длиной \(L = 30\,\text{см}\) подвешен за два конца к вертикальным пружинам одинаковой длины. При подвешивании груза массой \(m = 3\,\text{кг}\) на расстоянии \(d = 5\,\text{см}\) от правой пружины стержень занимает горизонтальное положение, а удлинения обеих пружин становятся равными. Известно, что жесткость правой пружины в \(2\) раза больше левой. Найдите массу стержня \(M.\)

Обоснование. Используем инерциальную систему отсчета. Стержень — абсолютно твердое тело. Условия равновесия: \(\sum F_y = 0\) и \(\sum M = 0.\) Удлинения пружин одинаковы \(( x_1 = x_2 = x ).\) Соотношение сил упругости: \(F_1 = kx, \quad F_2 = 2kx\) Уравнение моментов относительно центра стержня: \(F_1\frac{L}{2} + mg\left(\frac{L}{2}-d\right) = F_2\frac{L}{2}\) \(kx \cdot 15 + 3g \cdot 10 = 2kx \cdot 15\) \(kx = \frac{30g}{15} = 2g\) Уравнение моментов относительно правой пружины: \(F_1L = Mg\frac{L}{2} + mgd\) \(2g \cdot 30 = Mg \cdot 15 + 3g \cdot 5\) \(60 = 15M + 15\) Решение для массы стержня: \(15M = 45 \implies M = 3\,\text{кг}\) Ответ: \(M = 3\,\text{кг}.\)

На рисунке представлен график зависимости пути \(S\) велосипедиста от времени \(t.\) Найдите скорость велосипедиста в интервале времени от \(50\) до \(70\space с.\)

\(1.\) Формула скорости при равномерном движении:\(v = \dfrac{\Delta S}{\Delta t}\) \(2.\) Вычисляем пройденный путь:\(\Delta S = 250\,\text{м}-100\,\text{м} = 150\,\text{м}\) \(3.\) Вычисляем временной интервал:\(\Delta t = 70\,\text{с}-50\,\text{с} = 20\,\text{с}\) \(4.\) Находим скорость:\(v = \dfrac{150\,\text{м}}{20\,\text{с}} = 7.5\,\text{м/с}\)

На рисунке показаны силы (в заданном масштабе), действующие на материальную точку в инерциальной системе отсчета. Чему равен модуль равнодействующей этих сил в данной системе отсчета? (Ответ дайте в ньютонах и округлите до десятых).

Используем принцип суперпозиции сил: \(\vec{F} = \sum \vec{F}_i\) \(1.\) Найдем проекции равнодействующей на оси: \(F_x = 4-3 = 1\, \text{Н}\) \(F_y = 3-2 = 1\, \text{Н}\) \(2.\) Вычислим модуль равнодействующей по теореме Пифагора: \(F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.4\)

При равномерном перемещении саней по горизонтальному пути длиной \(50\,\text{м}\) сила тяги совершает работу \(1\ 000\,\text{Дж}\). Определите силу трения скольжения. Ответ дайте в ньютонах.

Физические условия задачи: — Движение равномерное (\(\sum \vec{F} = 0\)) — Сила тяги \(F_{\text{тяги}}\) уравновешивает силу трения \(F_{\text{тр}}\) — Путь \(s = 50\,\text{м}\) — Работа \(A = 1000\,\text{Дж}\) 2. Формула работы силы: \(A = F_{\text{тяги}} \cdot s\) 3. Вычисление силы тяги: \(F_{\text{тяги}} = \frac{A}{s} = \frac{1000\,\text{Дж}}{50\,\text{м}} = 20\,\text{Н}\) 4. Определение силы трения: Так как движение равномерное: \(F_{\text{тр}} = F_{\text{тяги}} = 20\,\text{Н}\)

Изменение координаты при движении маятника имеет вид \(x = A \sin \left( \frac{2\pi}{T} t \right)\). Период колебаний маятника равен \(T = 2 \, \text{с}\). Через какое время кинетическая энергия маятника впервые примет минимальное значение? Ответ дайте в секундах.

Анализ уравнения движения: Уравнение координаты маятника задано как: \(x = A \sin \left( \frac{2\pi}{T} t \right).\)Поскольку в начальный момент времени \((t = 0)\) синус равен нулю \((\sin(0) = 0),\) маятник находится в положении равновесия \((x = 0).\) 2. Кинетическая энергия маятника: Кинетическая энергия минимальна в крайних точках траектории, где скорость маятника равна нулю. В этих точках смещение достигает амплитуды: \(x = A \quad \text{или} \quad x = -A.\) 3. Нахождение времени: Для достижения первой крайней точки \((x = A)\) должно выполняться условие: \(\sin \left( \frac{2\pi}{T} t \right) = 1.\)Решаем уравнение: \(\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{T}{4}.\)Подставляем значение периода \(T = 2 \, \text{с}\): \(t = \frac{2}{4} = 0,5 \, \text{с}.\)