Ученику необходимо экспериментально исследовать зависимость периода свободных колебаний математического маятника от материала шарика. В распоряжении имеется пять маятников с различными характеристиками. Какие два маятника следует выбрать для корректного проведения исследования?

Для изучения зависимости периода колебаний \(T\) от длины нити необходимо выбрать маятники, удовлетворяющие условиям: Одинаковая длина нити. Одинаковый объем шарика. Разный материал шарика. Период колебаний математического маятника определяется по формуле: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)где \(g\) — ускорение свободного падения.

Доска длиной \(1.3\ м\) установлена между полом и стеной под разными углами в двух опытах: \(1)\) высота верхнего конца \(78\ см ;\) \(2)\) высота верхнего конца \(50\ см .\) На доску помещают брусок с коэффициентом трения \(μ = 0.5.\) Определите, будет ли брусок скользить в каждом случае. Обоснуйте ответ, указав действующие силы и используемые физические законы.

Общая длина доски: \(l = 1.3\,м = 130\,см\) Силы, действующие на брусок. Сила тяжести: \(mg.\) Нормальная реакция: \(N = mg\cosα.\) Сила трения покоя: \(F_{тр} = \mu N = \mu mg\cosα.\) Соскальзывающая сила: \(F_{ск} = mg\sinα.\) Первый опыт. \(\sinα1 = \frac{78}{130} = 0.6\) \(\cosα_1 = \sqrt{1-0.6^2} = 0.8\) \(\tanα_1 = \frac{0.6}{0.8} = 0.75\) Второй опыт. \(\sinα_2 = \frac{50}{130} ≈ 0.385\) \(\cosα_2 ≈ \sqrt{1-0.385^2} ≈ 0.923\) \(\tanα_2 ≈ \frac{0.385}{0.923} ≈ 0.417\) Условие равновесия. Брусок не скользит при: \(\mu ≥ \tanα\) где \(\mu = 0.5\) Первый опыт: \(0.5 0.417\) \(→\) не будет скользить Ответ: При высоте \(78\ см\): брусок скользит. При высоте \(50 \ см\): брусок не скользит.

Небольшой камень бросили с горизонтальной поверхности Земли под углом \(\alpha = 60^\circ\) к горизонту. Камень достиг максимальной высоты \(H = 5\,\text{м}.\) Определите время \(t\) от момента броска до момента, когда вектор скорости камня стал горизонтальным. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2.\)

Анализ движения. Движение разделяется на горизонтальное (равномерное) и вертикальное (равноускоренное). В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в ноль, а скорость становится чисто горизонтальной. Вертикальная составляющая. Начальная вертикальная скорость: \(v_{0y} = v_0 \sin \alpha = v_0 \sin 60^\circ = \frac{v_0 \sqrt{3}}{2}\)Уравнение скорости по вертикали: \(v_y = v_{0y}- gt\)В момент достижения максимальной высоты: \(0 = \frac{v_0 \sqrt{3}}{2}- gt\) Максимальная высота. Формула для максимальной высоты: \(H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}\) Подставляем известные значения: \(5 = \frac{v_0^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2 \cdot 10} = \frac{v_0^2 \cdot \frac{3}{4}}{20}\) \(v_0^2 = \frac{5 \cdot 20 \cdot 4}{3} \approx \frac{400}{3}\) \(v_0 \approx \frac{20}{\sqrt{3}} \approx 11.55\,\text{м/с}\) Время подъема. \(t = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{\frac{20}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{10} = \frac{10}{10} = 1\,\text{с}\) Ответ: время от броска до момента горизонтальной скорости камня составляет \(t = 1\,\text{с}.\)

Полый шарик с зарядом \(q = 0.5\,\text{мкКл}\) и массой \(m = 0.25\,\text{мг}\) движется со скоростью \(v = 1\,\text{м/с}\) в однородном магнитном поле с индукцией \(B = 5\,\text{Тл}.\) На рисунке показаны направления скорости шарика, силы тяжести и вектора индукции магнитного поля. Чему равна по модулю равнодействующая силы тяжести и силы Лоренца?

\(1.\) Переводим единицы в \(СИ{:}\) \(q = 0.5 \cdot 10^{-6}\,\text{Кл}\) \(m = 0.25 \cdot 10^{-6}\,\text{кг}\) \(2.\) Находим силу Лоренца: \(F_{\text{л}} = q v B \sin 90^\circ = 0.5 \cdot 10^{-6} \cdot 1 \cdot 5 = 2.5 \cdot 10^{-6}\,\text{Н}\) \(3.\) Находим силу тяжести: \(F_{\text{т}} = m g = 0.25 \cdot 10^{-6} \cdot 10 = 2.5 \cdot 10^{-6}\,\text{Н}\) \(4.\) Так как обе силы направлены вниз, их равнодействующая: \(F = F_{\text{л}} + F_{\text{т}} = 2.5 \cdot 10^{-6} + 2.5 \cdot 10^{-6} = 5 \cdot 10^{-6}\,\text{Н} = 5\,\text{мкН}\) Ответ: равнодействующая сила равна \(5\,\text{мкН}.\)

В сосуде под поршнем находится влажный воздух при начальном давлении \(p_1 = 120\,\text{кПа}\) и температуре \(t = 80\,^\circ\text{C}.\) Относительная влажность воздуха \(\varphi = 70\%.\) При постоянной температуре объем под поршнем уменьшают в три раза. Определите конечное давление влажного воздуха, если давление насыщенных паров воды при \(80\,^\circ\text{C}\) составляет \(p_{\text{нас}} = 47.3\,\text{кПа}.\)

Начальное состояние. Давление водяного пара: \(p_{\text{пар}} = \varphi \cdot p_{\text{нас}} = 0.7 \cdot 47.3 = 33.11\,\text{кПа}\)Давление сухого воздуха: \(p_{\text{возд}} = p_1- p_{\text{пар}} = 120- 33.11 = 86.89\,\text{кПа}\) После сжатия. Объем уменьшается в \(3\) раза \(( V_2 = V_1/3 ).\) Для сухого воздуха (изотермический процесс): \(p_{\text{возд}}’ = 3p_{\text{возд}} = 3 \cdot 86.89 = 260.67\,\text{кПа}\)Для водяного пара: Первоначальное давление пара \((33.11\ кПа)\) меньше давления насыщения \((47.3\ кПа).\) При сжатии давление пара будет увеличиваться по закону Бойля-Мариотта до достижения насыщения: \(p_{\text{пар}}’ = 3 \cdot 33.11 = 99.33\,\text{кПа} > p_{\text{нас}}\)Так как давление не может превысить \(p_{\text{нас}},\) устанавливается: \(p_{\text{пар}}’ = p_{\text{нас}} = 47.3\,\text{кПа}\)Избыток воды конденсируется. Конечное давление. \(p_2 = p_{\text{возд}}’ + p_{\text{пар}}’ = 260.67 + 47.3 = 307.97\,\text{кПа}\) Ответ: конечное давление влажного воздуха составит \(308\,\text{кПа}.\)