На горизонтальном диске радиусом \(1\ м\) лежит шайба на расстоянии \(60\ см\) от центра. В первом опыте диск вращают с \(ω₁ = 2\ рад/с,\) во втором — с \(ω₂ = 2.5\ рад/с.\) Коэффициент трения \(μ = 0.3.\) Определите, будет ли шайба скользить в каждом случае. Обоснуйте ответ, указав действующие силы и используемые физические законы.

Силы, действующие на шайбу. Сила тяжести: \(\vec{F}_g = m\vec{g}.\) Сила реакции опоры: \(\vec{N} = -\vec{F}_g.\) Сила трения: \(\vec{F}_{тр} = μN = μmg\) (максимально возможная). Условие отсутствия скольжения. Центростремительная сила не должна превышать максимальную силу трения: \(mω^2r ≤ μmg\) Первый опыт. \(F_{цс} = m(2)^2\cdot0.6 = 2.4m\) \(F_{тр.max} = 0.3\cdot m\cdot9.8 ≈ 2.94m\) \(2.4m 2.94m\) \(→\) скользит Критическая угловая скорость: \(ω_{кр} = \sqrt{\frac{μg}{r}} = \sqrt{\frac{0.3\cdot 9.8}{0.6}} ≈ 2.21 \text{ рад/с}\) Ответ: При \(ω = 2\ рад/с\): шайба не скользит. При \(ω = 2.5\ рад/с\): шайба скользит.

Маленький камень бросили с поверхности Земли под углом \(\alpha = 45^\circ\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0.\) Камень упал на расстоянии \(L = 20\,\text{м}\) от точки броска. Определите максимальную высоту подъема камня \(h_{max}.\) Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 9.8\,\text{м/с}^2.\)

Разложение начальной скорости. Горизонтальная составляющая: \(v_{0x} = v_0 \cos \alpha = v_0 \cos 45^\circ = \frac{v_0 \sqrt{2}}{2}\)Вертикальная составляющая: \(v_{0y} = v_0 \sin \alpha = v_0 \sin 45^\circ = \frac{v_0 \sqrt{2}}{2}\) Время подъема до максимальной высоты: \(t_{подъема} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{v_0 \sqrt{2}}{2g}\)Общее время полета (в \(2\) раза больше времени подъема): \(t_{полета} = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{v_0 \sqrt{2}}{g}\) Горизонтальное движение равномерное: \(L = v_{0x} \cdot t_{полета} = \frac{v_0 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{v_0 \sqrt{2}}{g} = \frac{v_0^2}{g}\) Выражаем начальную скорость: \(v_0 = \sqrt{Lg} = \sqrt{20 \cdot 9.8} \approx 14\,\text{м/с}\) Максимальная высота подъема. Используем формулу для равноускоренного движения: \(h_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{\left(\frac{v_0 \sqrt{2}}{2}\right)^2}{2g} = \frac{v_0^2}{4g}\)Подставляем \(v_0^2 = Lg\): \(h_{max} = \frac{Lg}{4g} = \frac{L}{4} = \frac{20}{4} = 5\,\text{м}\) Ответ: максимальная высота подъема камня составляет \(h_{max} = 5\,\text{м}.\)

Прямоугольный контур, образованный двумя рельсами и двумя перемычками, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура. Правая перемычка скользит по рельсам, сохраняя надежный контакт. Известны величины: индукция магнитного поля \(B = 0.2\,\text{Тл},\) расстояние между рельсами \(l = 10\,\text{см},\) скорость движения перемычки \(v = 2\,\text{м/с}.\) Каково сопротивление контура \(R,\) если сила индукционного тока в контуре \(I = 0.01\,\text{A}?\) Ответ приведите в омах.

\(1.\) Переводим единицы в \(СИ{:}\) \(l = 10\,\text{см} = 0.1\,\text{м}\) \(2.\) Находим \(ЭДС\) индукции: \(\mathcal{E}_i = B l v = 0.2 \cdot 0.1 \cdot 2 = 0.04\,\text{В}\) \(3.\) По закону Ома: \(R = \frac{\mathcal{E}_i}{I} = \frac{0.04}{0.01} = 4\,\text{Ом}\) Ответ: сопротивление контура равно \(4\,\text{Ом}.\)

Закрытый вертикальный цилиндрический сосуд разделен тяжелым поршнем массой \(m,\) который может скользить без трения. В начальном состоянии: После уменьшения количества газа в нижней части на \(\Delta ν\) установилось новое равновесие с отношением объемов \(V_{\text{верх}}’/V_{\text{низ}}’ = 3.\) Найдите величину \(\Delta ν.\)

Начальное равновесие. Обозначим общий объем сосуда \(V_{\text{общ}} = V_{\text{верх}} + V_{\text{низ}} = 3V,\) где \(V_{\text{низ}} = V,\) \(V_{\text{верх}} = 2V.\) Давления по уравнению Менделеева-Клапейрона: \(p_1 = \frac{νRT}{2V}, \quad p_2 = \frac{νRT}{V}\)Условие равновесия поршня: \(p_2S = p_1S + mg \Rightarrow \frac{νRT}{V} = \frac{νRT}{2V} + \frac{mg}{S}\) Выражаем массу поршня: \(mg = \frac{νRTS}{2V}\) После удаления части газа. Новое количество газа в нижней части: \(ν- \Delta ν.\) Новые объемы: \(V_{\text{верх}}’ = 3V_{\text{низ}}’\) \((\)так как \(V_{\text{верх}}’/V_{\text{низ}}’ = 3)\) и \(V_{\text{общ}} = V_{\text{верх}}’ + V_{\text{низ}}’ = 4V_{\text{низ}}’ = 3V \Rightarrow V_{\text{низ}}’ = \frac{3V}{4}.\) Новые давления: \(p_1′ = \frac{νRT}{V_{\text{верх}}’} = \frac{νRT}{\frac{9V}{4}} = \frac{4νRT}{9V}\) \(p_2′ = \frac{(ν- \Delta ν)RT}{V_{\text{низ}}’} = \frac{4(ν- \Delta ν)RT}{3V}\) Условие равновесия: \(p_2’S = p_1’S + mg \Rightarrow \frac{4(ν- \Delta ν)RT}{3V} = \frac{4νRT}{9V} + \frac{νRT}{2V}\) Решаем уравнение относительно \(\Delta ν.\) Умножаем все члены на \(18V\) для устранения знаменателей: \(24(ν- \Delta ν)RT = 8νRT + 9νRT\) \(24ν- 24\Delta ν = 17ν\) \(24\Delta ν = 7ν \Rightarrow \Delta ν = \frac{7ν}{24}\) Для \(ν = 1\,\text{моль}\): \(\Delta ν = \frac{7}{24} \approx 0.29\,\text{моль}\) Ответ: удаленное количество газа составляет \(0.29\,\text{моль}.\)

Ядро покоящегося нейтрального атома, находясь в однородном магнитном поле, испытывает \(\alpha\)-распад. При этом рождаются \(\alpha\)-частица и тяжелый ион нового элемента. Выделившаяся при \(\alpha\)-распаде энергия \(\Delta E\) целиком переходит в кинетическую энергию продуктов реакции. Трек \(\alpha\)-частицы находится в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Начальная часть трека напоминает дугу окружности радиусом \(R.\) Масса \(\alpha\)-частицы равна \(m,\) ее заряд равен \(2e,\) масса тяжелого иона равна \(M.\) Найдите индукцию \(B\) магнитного поля.

\(1.\) По закону сохранения импульса: \(0 = m v_1 -M v_2 \quad \Rightarrow \quad v_2 = \frac{m}{M} v_1\) \(2.\) По закону сохранения энергии: \(\frac{m v_1^2}{2} + \frac{M v_2^2}{2} = \Delta E\) \(3.\) Подставляем \(v_2\) из первого уравнения во второе: \(\frac{m v_1^2}{2} + \frac{M}{2} \left( \frac{m}{M} v_1 \right)^2 = \Delta E\) \(\frac{m v_1^2}{2} + \frac{m^2 v_1^2}{2M} = \Delta E\) \(v_1^2 \left( \frac{m}{2} + \frac{m^2}{2M} \right) = \Delta E\) \(v_1^2 = \frac{2 \Delta E}{m \left( 1 + \frac{m}{M} \right)} = \frac{2 M \Delta E}{m (M + m)}\) \(4.\) Скорость \(\alpha\)-частицы: \(v_1 = \sqrt{ \frac{2 M \Delta E}{m (M + m)} }\) \(5.\) Для \(\alpha\)-частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: \(B q v_1 = \frac{m v_1^2}{R}\) где \(q = 2e.\) \(6.\) Выражаем магнитную индукцию: \(B = \frac{m v_1}{q R} = \frac{m}{2e R} \sqrt{ \frac{2 M \Delta E}{m (M + m)} } = \frac{1}{2e R} \sqrt{ \frac{2 m M \Delta E}{M + m} }\) Ответ: индукция магнитного поля \(B = \dfrac{1}{2e R} \sqrt{ \dfrac{2 m M \Delta E}{M + m} }.\)