Груз массой \(m = 200\,\text{г} = 0.2\,\text{кг}\) подвешен на пружине жесткостью \(k = 100\,\text{Н/м}\) к потолку лифта. Лифт движется вниз с постоянным ускорением \(a,\) при этом удлинение пружины остается неизменным и равным \(x = 1.5\,\text{см} = 0.015\,\text{м}.\) Определите ускорение лифта. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2.\)

Условие равновесия в неподвижном лифте. Сила тяжести уравновешивается силой упругости: \(mg = kx_0\) где \(x_0\) — удлинение пружины в покое. В системе отсчета лифта на груз действуют: Сила тяжести \(mg\) (вниз), Сила упругости \(F_{\text{упр}} = kx\) (вверх). По второму закону Ньютона: \(ma = mg- kx\)Выражаем ускорение \(a\): \(a = g- \frac{kx}{m}\) Подставляем значения: \(a = 10- \frac{100 \cdot 0.015}{0.2} = 10- 7.5 = 2.5\,\text{м/с}^2\) Ответ: ускорение лифта равно \(a = 2.5\,\text{м/с}^2.\)

В области пространства, где находится частица с массой \(10^{-6}\,\text{г}\) и зарядом \(5 \cdot 10^{-13}\,\text{Кл},\) создано однородное горизонтальное электрическое поле напряженностью \(2 \cdot 10^5\,\text{В/м}.\) За какое время частица переместится на расстояние \(4.5\,\text{см}\) по горизонтали, если ее начальная скорость равна нулю? Ответ приведите в секундах, округлите до сотых.

\(1.\) Переводим единицы в \(СИ{:}\) \(m = 10^{-6}\,\text{г} = 10^{-9}\,\text{кг}\) \(s = 4.5\,\text{см} = 0.045\,\text{м}\) \(2.\) Находим силу, действующую на частицу: \(F = qE = 5 \cdot 10^{-13} \cdot 2 \cdot 10^5 = 10^{-7}\,\text{Н}\) \(3.\) Определяем ускорение частицы: \(a = \frac{F}{m} = \frac{10^{-7}}{10^{-9}} = 100\,\text{м/с}^2\) \(4.\) Используем формулу пути для равноускоренного движения: \(s = \frac{at^2}{2}\) \(t = \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.045}{100}} = \sqrt{0.0009} = 0.03\,\text{с}\) Ответ: время движения составляет \(0.03\,\text{с}.\)

Закрытый вертикальный цилиндрический сосуд с идеальным газом разделен тяжелым поршнем массой \(m,\) который может скользить без трения. В начальном состоянии: После полной откачки газа из верхней части и установления нового равновесия, определите отношение объемов верхней и нижней частей сосуда.

Начальное равновесие. Давление в верхней части: \(p_1 = \frac{νRT}{V_{\text{верх}}}\) Давление в нижней части: \(p_2 = \frac{νRT}{V_{\text{низ}}}\) Условие равновесия поршня: \(p_2S = p_1S + mg\)где \(S\) — площадь поршня. Подставляем давления: \(\frac{νRT}{V_{\text{низ}}} = \frac{νRT}{V_{\text{верх}}} + \frac{mg}{S}\) Из начального условия \(V_{\text{верх}} = 2V_{\text{низ}},\) обозначим \(V_{\text{низ}} = V\): \(\frac{νRT}{V} = \frac{νRT}{2V} + \frac{mg}{S}\) \(\frac{νRT}{2V} = \frac{mg}{S} \quad \Rightarrow \quad mg = \frac{νRTS}{2V}\) После откачки газа. В верхней части газа нет \(( p_1 = 0 ),\) поэтому условие равновесия: \(pS = mg\)где \(p\) — давление в нижней части. Подставляем \(mg\): \(pS = \frac{νRTS}{2V} \quad \Rightarrow \quad p = \frac{νRT}{2V}\) Новый объем нижней части. Используем уравнение состояния для газа в нижней части: \(pV_{\text{низ}}’ = νRT\) \(\frac{νRT}{2V} \cdot V_{\text{низ}}’ = νRT \quad \Rightarrow \quad V_{\text{низ}}’ = 2V\) Отношение объемов. Поскольку общий объем сосуда сохраняется \(( V_{\text{верх}} + V_{\text{низ}} = 3V ),\) новый объем верхней части: \(V_{\text{верх}}’ = 3V- 2V = V\)Искомое отношение: \(\frac{V_{\text{верх}}’}{V_{\text{низ}}’} = \frac{V}{2V} = 0.5\) Ответ: отношение объемов верхней и нижней частей после откачки равно \(0.5.\)

В постоянном магнитном поле заряженная частица движется по окружности. Когда индукцию магнитного поля стали медленно увеличивать, обнаружилось, что скорость частицы увеличивается так, что ее кинетическая энергия прямо пропорциональна индукции поля. Найдите частоту обращения частицы с энергией \(E,\) если частота обращения частицы с энергией \(E_0\) равна \(\nu_0.\)

\(1.\) Для частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: \(B q v = \frac{m v^2}{R}\) \(2.\) Частота обращения: \(\nu = \frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi R} = \frac{B q}{2\pi m}\) \(3.\) Кинетическая энергия: \(E = \frac{m v^2}{2}\) \(4.\) По условию \(E \propto B,\) значит существует константа \(k\) такая, что: \(E = k B\) \(5.\) Выражаем частоту через энергию: \(\nu = \frac{B q}{2\pi m} = \frac{E q}{2\pi m k}\) \(6.\) Для начального состояния \((\) \(E = E_0,\) \(\nu = \nu_0){:}\) \(\nu_0 = \frac{E_0 q}{2\pi m k}\) \(7.\) Выражаем константу: \(k = \frac{E_0 q}{2\pi m \nu_0}\) \(8.\) Подставляем в общую формулу для частоты: \(\nu = \frac{E q}{2\pi m} \cdot \frac{2\pi m \nu_0}{E_0 q} = \nu_0 \frac{E}{E_0}\) Ответ: частота обращения частицы \(\nu = \nu_0 \dfrac{E}{E_0}.\)

Однородный брусок \(AB\) массой \(M\) лежит на гладкой горизонтальной поверхности, свешиваясь менее чем наполовину. К правому концу бруска прикреплена нерастяжимая нить, перекинутая через составной блок с радиусами \(R = 10\,\text{см}\) и \(r = 5\,\text{см}.\) На большем диске блока закреплен груз массой \(m = 1\,\text{кг}.\) Найдите минимальную массу \(M,\) при которой система остается в равновесии. Обоснуйте применяемые физические законы.

Обоснование. Используем инерциальную систему отсчета. Брусок рассматриваем как твердое тело с осью вращения в точке \(A.\) Нити нерастяжимы и невесомы \(( T_1 = T_3,\) \(T_2 = T_4 ).\) Блок идеальный (нет трения, масса пренебрежимо мала). Условия равновесия. Для бруска (моменты относительно точки \(A\)): \(T_1 \cdot L = Mg \cdot \frac{L}{2} \implies T_1 = \frac{Mg}{2}\) Для груза: \(T_2 = mg\) Для блока: \(T_1 \cdot r = T_2 \cdot R\) Подстановка и решение: \(\frac{Mg}{2} \cdot 0.05 = 1 \cdot g \cdot 0.10\) \(M = 2 \cdot 1 \cdot \frac{0.10}{0.05} = 4\,\text{кг}\) Ответ: \(\text{min}\,M = 4\,\text{кг}.\)