В схеме, изображенной на рисунке, \(ЭДС\) источника тока равна \(6\,\text{В},\) его внутреннее сопротивление пренебрежимо мало, а сопротивления резисторов \(R_1 = R_2 = 2\,\text{Ом}.\) Какое напряжение показывает идеальный вольтметр?

\(1.\) Находим общее сопротивление цепи: \(R = R_1 + R_2 = 2 + 2 = 4\,\text{Ом}\) \(2.\) Определяем силу тока в цепи: \(I = \frac{\mathscr{E}}{R} = \frac{6}{4} = 1.5\,\text{A}\) \(3.\) Находим напряжение на резисторе \(R_2\) (показание вольтметра): \(U_2 = I \cdot R_2 = 1.5 \cdot 2 = 3\,\text{B}\) Ответ: вольтметр показывает \(3\,\text{B}.\)

Воздушный шар объемом \(V = 1\ 500\,\text{м}^3\) с массой оболочки \(m_0 = 400\,\text{кг}\) имеет внизу отверстие, через которое воздух внутри нагревается горелкой при нормальном атмосферном давлении \(p_a = 10^5\,\text{Па}.\) Окружающий воздух имеет температуру \(T_1 = 17\,^\circ\text{C} = 290\,\text{K}.\) При какой минимальной разности температур \(\Delta T\) шар сможет поднять груз массой \(m = 200\,\text{кг}?\) Оболочка шара нерастяжима. Молярная масса воздуха \(M = 29\,\text{г/моль} = 0.029\,\text{кг/моль}.\)

Условие подъема. Сила Архимеда должна компенсировать суммарную силу тяжести: \(F_A = (m_0 + m + m_b)g\) где \(m_b\) — масса воздуха внутри шара. Сила Архимеда: \(F_A = \rho_1 g V\)где \(\rho_1\) — плотность окружающего воздуха. Плотность окружающего воздуха. Из уравнения Менделеева-Клапейрона: \(\rho_1 = \frac{p_a M}{R T_1}\) Масса воздуха внутри шара. Для нагретого воздуха: \(m_b = \rho_2 V = \frac{p_a M V}{R T_2}\) где \(T_2\) — температура воздуха внутри шара. Подстановка в условие равновесия: \(\frac{p_a M V g}{R T_1} = (m_0 + m)g + \frac{p_a M V g}{R T_2}\) Сокращаем \(g\) и выражаем \(T_2\): \(\frac{p_a M V}{R T_1} — (m_0 + m) = \frac{p_a M V}{R T_2}\) \(T_2 = \frac{p_a M V}{R \left(\frac{p_a M V}{R T_1}- m_0- m\right)}\) Подставляем значения: \(T_2 = \frac{10^5 \cdot 0.029 \cdot 1500}{8.31 \left(\frac{10^5 \cdot 0.029 \cdot 1500}{8.31 \cdot 290}- 400- 200\right)} \approx 434\,\text{K}\) Разность температур: \(\Delta T = T_2- T_1 = 434- 290 = 144\,\text{K}\) Ответ: минимальная разность температур составляет \(144\,^\circ\text{C}.\)

В постоянном магнитном поле заряженная частица движется по окружности. Когда индукцию магнитного поля стали медленно увеличивать, обнаружилось, что скорость частицы изменяется так, что кинетическая энергия частицы оказывается пропорциональной частоте ее обращения. Найдите радиус орбиты частицы в поле с индукцией \(B,\) если в поле с индукцией \(B_0\) он равен \(R_0.\)

\(1.\) Для частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: \(B q v = \frac{m v^2}{R}\) Откуда радиус орбиты: \(R = \frac{m v}{B q}\) \(2.\) Частота обращения: \(\nu = \frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi R} = \frac{B q}{2\pi m}\) \(3.\) Кинетическая энергия: \(E_k = \frac{m v^2}{2}\) \(4.\) По условию \(E_k \propto \nu,\) значит существует константа \(k\) такая, что: \(\frac{m v^2}{2} = k \nu\) \(5.\) Подставляем выражение для частоты: \(\frac{m v^2}{2} = k \frac{B q}{2\pi m}\) \(6.\) Выражаем скорость: \(v^2 = \frac{k B q}{\pi m^2}\) \(7.\) Подставляем в выражение для радиуса: \(R = \frac{m}{B q} \sqrt{\frac{k B q}{\pi m^2}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{k B q}{\pi}}\) \(8.\) Для начального состояния \((\) \(B = B_0,\) \(R = R_0){:}\) \(R_0 = \frac{1}{B_0} \sqrt{\frac{k B_0 q}{\pi}} = \sqrt{\frac{k q}{\pi B_0}}\) \(9.\) Выражаем константу \(k{:}\) \(k = \frac{\pi B_0 R_0^2}{q}\) \(10.\) Подставляем в общую формулу для радиуса: \(R = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{\pi B_0 R_0^2 q}{\pi}} \cdot B = R_0 \sqrt{\frac{B_0}{B}}\) Ответ: радиус орбиты частицы \(R = R_0 \sqrt{\dfrac{B_0}{B}}.\)

Два шара массами \(m_1 = 0.2\,\text{кг}\) и \(m_2 = 0.3\,\text{кг}\) закреплены на концах невесомого стержня \(AB\) длиной \(L,\) который лежит горизонтально на опорах \(C\) и \(D.\) Расстояние между опорами \(l = 0.6\,\text{м},\) при этом \(AC = 0.2\,\text{м}.\) Определите длину стержня \(L,\) если сила давления на опору \(D\) в \(2\) раза больше, чем на опору \(C.\) Укажите все действующие силы и обоснуйте применяемые физические законы.

Обоснование. Используем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей. Стержень считаем абсолютно твердым телом. Условия равновесия: \(\sum F_y = 0\) и \(\sum M = 0.\) По третьему закону Ньютона \(N_2 = 2N_1.\) Уравнения равновесия. Сумма сил по вертикали: \(N_1 + N_2 = (m_1 + m_2)g\) \(3N_1 = 0.5g \quad (1)\) Моменты сил относительно точки \(A\): \(N_1 \cdot 0.2 + N_2 \cdot 0.8 = m_2g \cdot L\) \(0.2N_1 + 1.6N_1 = 0.3g \cdot L \quad (2)\) Из уравнения \((1)\): \(N_1 = \frac{0.5g}{3}\) Подставляем в \((2)\): \(1.8 \cdot \frac{0.5g}{3} = 0.3g \cdot L\)\(0.3g = 0.3g \cdot L\) \(L = 1\,\text{м}\) Ответ: \(L = 1\,\text{м}.\)

На рисунке представлены графики зависимости пройденного пути от времени для двух тел. На какую величину \(\Delta v\) скорость второго тела \(v_2\) больше скорости первого тела \(v_1?\) (Ответ дайте в метрах в секунду).

\(1.\) Формула скорости при равномерном движении: \(v = \frac{S}{t}\) \(2.\) Для первого тела:\(v_1 = \frac{160\,\text{м}}{8\,\text{с}} = 20\,\text{м/с}\) \(3.\) Для второго тела:\(v_2 = \frac{120\,\text{м}}{4\,\text{с}} = 30\,\text{м/с}\) \(4.\) Разность скоростей:\(\Delta v = v_2-v_1 = 30\,\text{м/с}-20\,\text{м/с} = 10\,\text{м/с}\)