В горизонтальной стеклянной трубке, запаянной с одного конца, находится столбик неизвестной жидкости длиной \(l = 100\,\text{мм},\) который запирает столбик воздуха длиной \(l_1 = 216\,\text{мм}.\) При переворачивании трубки в вертикальное положение (запаянным концом вверх) длина воздушного столбика становится \(l_2 = 250\,\text{мм}.\) Определите плотность неизвестной жидкости \(\rho,\) если:

Горизонтальное положение. Давление воздуха в трубке равно атмосферному: \(p_1 = p_0\)Объем воздуха: \(V_1 = S \cdot l_1\) где \(S\) — площадь сечения трубки. Вертикальное положение. Давление складывается из атмосферного и давления столбика жидкости: \(p_2 = p_0- \rho g l\)Объем воздуха: \(V_2 = S \cdot l_2\) Поскольку процесс изотермический: \(p_1 V_1 = p_2 V_2\)Подставляем выражения для объемов и давлений: \(p_0 \cdot S \cdot l_1 = (p_0- \rho g l) \cdot S \cdot l_2\)Сокращаем площадь \(S\): \(p_0 l_1 = (p_0- \rho g l) l_2\) Раскрываем скобки и выражаем \(\rho\): \(p_0 l_1 = p_0 l_2- \rho g l l_2\) \(\rho g l l_2 = p_0 (l_2- l_1)\) \(\rho = \frac{p_0 (l_2- l_1)}{g l l_2}\) Подставляем числовые значения: \(\rho = \frac{10^5 \cdot (0.250- 0.216)}{10 \cdot 0.100 \cdot 0.250} = \frac{10^5 \cdot 0.034}{0.25} = 13\ 600\,\text{кг/м}^3\) Ответ: плотность неизвестной жидкости составляет \(13\ 600\,\text{кг/м}^3.\)

Две частицы, имеющие отношение масс \(\dfrac{m_1}{m_2} = 4,\) влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции и движутся по окружностям. Определить отношение зарядов \(\dfrac{q_1}{q_2},\) если отношение периодов обращения этих частиц \(\dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{1}{2}.\)

\(1.\) Для частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: \(B q v = \frac{m v^2}{R}\) \(2.\) Выражаем радиус траектории: \(R = \frac{m v}{B q}\) \(3.\) Период обращения частицы: \(T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{B q}\) \(4.\) Для первой частицы: \(T_1 = \frac{2\pi m_1}{B q_1}\) Для второй частицы: \(T_2 = \frac{2\pi m_2}{B q_2}\) \(5.\) Находим отношение периодов: \(\frac{T_1}{T_2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{q_2}{q_1}\) \(6.\) Выражаем отношение зарядов: \(\frac{q_1}{q_2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}\) \(7.\) Подставляем данные значения: \(\frac{q_1}{q_2} = 4 \cdot 2 = 8\) Ответ: отношение зарядов частиц \(\dfrac{q_1}{q_2} = 8.\)

В системе, изображенной на рисунке, легкая палка \(AB\) длиной \(l\) закреплена через подшипник в точке \(A\) и может свободно вращаться. В точке \(B\) расположен шар массой \(m_2 = 0.1\,\text{кг},\) в точке \(C\) — шар массой \(m_1 = 0.2\,\text{кг}.\) Шар \(B\) соединен нерастяжимой нитью через блок с бруском массой \(M = 0.1\,\text{кг}.\) Система находится в равновесии при \(AC = b = 25\,\text{см}\) и углах \(\alpha = \beta = 30^\circ.\) Найдите длину палки \(l.\)

Обоснование. Систему отсчета связываем с Землей (инерциальная). Палку рассматриваем как абсолютно твердое тело. Условия равновесия: \(\sum F_i = 0\) и \(\sum M_i = 0.\) Нить невесома, блок идеален. Уравнения равновесия. Для бруска \(M\): \(T = Mg = 0.1 \cdot 10 = 1\,\text{Н}\)Моменты сил относительно точки \(A\): \(m_1g \cdot b\sin\alpha + m_2g \cdot l\sin\alpha = T \cdot l\sin(2\alpha)\) Подстановка значений: \(0.2 \cdot 10 \cdot 0.25 \cdot 0.5 + 0.1 \cdot 10 \cdot l \cdot 0.5 = 1 \cdot l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(0.25 + 0.5l = \frac{\sqrt{3}}{2}l\) Решение уравнения: \(0.25 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}- 0.5\right)l\)\(l = \frac{0.25}{0.366} \approx 0.683\,\text{м} = 68.3\,\text{см}\) Ответ: \(l = 68.3\,\text{см}.\)

На рисунке приведен график движения \(x(t)\) электрокара. Определите по этому графику путь, пройденный электрокаром за интервал времени от \(t_1 = 1\space с\) до \(t_2 = 4\space с.\) (Ответ дайте в метрах).

\(1.\) Разбиваем движение на два участка: \(1-3\space с:\) движение в положительном направлении. \(3-4\space с:\) движение в отрицательном направлении. \(2.\) Вычисляем изменение координаты: На участке \(1-3\space с:\) \(\Delta x_{1-3} = 4-2 = 2\space м\) На участке \(3-4\space с:\) \(\Delta x_{3-4} = 3-4 = -1\space м\) \(3.\) Находим путь как сумму модулей перемещений: \(S = |\Delta x_{1-3}| + |\Delta x_{3-4}| = 2 + 1 = 3\space м\)

На рисунке представлены три вектора сил, лежащих в одной плоскости и приложенных к одной точке. Масштаб рисунка таков, что сторона одного квадрата сетки соответствует модулю силы \(1\space Н.\) Определите модуль вектора равнодействующей трех векторов сил. Ответ дайте в ньютонах.

Правило сложения векторов. Равнодействующая сил находится как векторная сумма всех действующих сил:\(\vec{F}{\text{равн}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3\) \(1.\) По условию задачи и рисунку:\(\vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{F}_1\)\(2.\) Находим равнодействующую всех трех сил:\(\vec{F}{\text{равн}} = \vec{F}1 + \vec{F}_1 = 2\vec{F}_1\)\(3.\) Определяем модуль силы \(\vec{F}_1\) по рисунку: \(F_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{Н}\)\(4.\) Вычисляем модуль равнодействующей: \(F{\text{равн}} = 2 \cdot 5 = 10\,\text{Н}\)