В цепи, изображенной на рисунке, идеальный амперметр показывает \(1\,\text{А}.\) Найдите \(ЭДС\) источника, если его внутреннее сопротивление \(1\,\text{Ом}.\)

\(1.\) Определяем сопротивления резисторов: \(R_1 = 3\,\text{Ом}, \quad R_2 = 1\,\text{Ом}, \quad R_3 = 5\,\text{Ом}\) \(2.\) Находим эквивалентное сопротивление параллельного участка: \(R_{12} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{3 \cdot 1}{3 + 1} = 0.75\,\text{Ом}\) \(3.\) Общее сопротивление цепи: \(R = R_3 + R_{12} = 5 + 0.75 = 5.75\,\text{Ом}\) \(4.\) Находим напряжение на параллельном участке: \(U_{12} = I_1 R_1 = 1 \cdot 3 = 3\,\text{В}\) \(5.\) Определяем ток через \(R_2\): \(I_2 = \frac{U_{12}}{R_2} = \frac{3}{1} = 3\,\text{А}\) \(6.\) Полный ток в цепи: \(I = I_1 + I_2 = 1 + 3 = 4\,\text{А}\) \(7.\) Находим \(ЭДС\) источника: \(\mathcal{E} = I(R + r) = 4 \cdot (5.75 + 1) = 4 \cdot 6.75 = 27\,\text{В}\) Ответ: \(ЭДС\) источника равна \(27\,\text{В}.\)

В сосуде под поршнем находится влажный воздух с относительной влажностью \(\varphi = 60\%\) при постоянной температуре \(t = 100\,^\circ\text{C}.\) В начальном состоянии его давление составляет \(p_1 = 1,6 \cdot 10^5\,\text{Па}.\) Определите, во сколько раз \(k\) нужно уменьшить объем в сосуде, чтобы давление возросло в \(3\) раза.

Давление насыщенного пара. При температуре \(100\,^\circ\text{C}\) давление насыщенных водяных паров равно: \(p_{\text{н.н.}} = 10^5\,\text{Па}\) Давление влажного воздуха складывается из парциального давления сухого воздуха \(p_0\) и парциального давления водяного пара \(p_{\text{п}}\): \(p_1 = p_0 + p_{\text{п}}\) Относительная влажность \(\varphi = 60\% = 0.6\): \(p_{\text{п}} = \varphi \cdot p_{\text{н.н.}} = 0.6 \cdot 10^5 = 0.6 \cdot 10^5\,\text{Па}\) Тогда парциальное давление сухого воздуха: \(p_0 = p_1- p_{\text{п}} = 1.6 \cdot 10^5- 0.6 \cdot 10^5 = 1.0 \cdot 10^5\,\text{Па}\) Конечное состояние после сжатия. Объем уменьшают в \(k\) раз: \(V_2 = \frac{V_1}{k}.\) Температура постоянна, поэтому для сухого воздуха (идеальный газ) по закону Бойля -Мариотта: \(p_0′ = k \cdot p_0\) Для водяного пара: при сжатии его парциальное давление увеличивается, но не может превысить \(p_{\text{н.н.}}.\) Как только оно достигает \(p_{\text{н.н.}},\) начинается конденсация, и дальнейшее сжатие не меняет парциальное давление пара. Таким образом, в конечном состоянии: \(p_{\text{п}}’ = p_{\text{н.н.}} = 10^5\,\text{Pa}\) Суммарное давление в конечном состоянии: \(p_2 = p_0′ + p_{\text{п}}’ = k \cdot p_0 + p_{\text{н.н.}}\) По условию давление возрастает в \(3\) раза: \(p_2 = 3p_1\) Уравнение для нахождения \(k.\) Подставляем выражения: \(k \cdot p_0 + p_{\text{н.н.}} = 3p_1\)Выражаем \(k\): \(k = \frac{3p_1- p_{\text{н.н.}}}{p_0}\) Подстановка числовых значений: \(p_1 = 1.6 \cdot 10^5\,\text{Па}\) \(p_{\text{н.н.}} = 10^5\,\text{Па}\) \(p_0 = 1.0 \cdot 10^5\,\text{Па}\): \(k = \frac{3 \cdot 1.6 \cdot 10^5- 10^5}{1.0 \cdot 10^5} = \frac{4.8 \cdot 10^5- 10^5}{10^5} = \frac{3.8 \cdot 10^5}{10^5} = 3.8\) Ответ: объем нужно уменьшить в \(k = 3.8~\text{раза}.\)

Две частицы, имеющие отношение зарядов \(\dfrac{q_1}{q_2} = 2,\) влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции и движутся по окружностям. Определите отношение масс \(\dfrac{m_1}{m_2}\) этих частиц, если отношение периодов обращения этих частиц \(\dfrac{T_1}{T_2} = 0.5.\)

\(1.\) Для частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: \(B q v = \frac{m v^2}{R}\) \(2.\) Выражаем радиус траектории: \(R = \frac{m v}{B q}\) \(3.\) Период обращения частицы: \(T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{B q}\) \(4.\) Для первой частицы: \(T_1 = \frac{2\pi m_1}{B q_1}\) Для второй частицы: \(T_2 = \frac{2\pi m_2}{B q_2}\) \(5.\) Находим отношение периодов: \(\frac{T_1}{T_2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{q_2}{q_1}\) \(6.\) Выражаем отношение масс: \(\frac{m_1}{m_2} = \frac{T_1}{T_2} \cdot \frac{q_1}{q_2}\) \(7.\) Подставляем данные значения: \(\frac{m_1}{m_2} = 0.5 \cdot 2 = 1\) Ответ: отношение масс частиц \(\dfrac{m_1}{m_2} = 1.\)

Цилиндр радиусом \(R = 30\,\text{см}\) и массой \(m = 3\,\text{кг}\) находится в покое на шероховатой наклонной плоскости с углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту. Цилиндр обмотан легкой невесомой нитью. Определите силу натяжения нити \(T,\) обеспечивающую равновесие цилиндра.

Обоснование. Используем инерциальную систему отсчета. Цилиндр — абсолютно твердое тело. Условия равновесия: \(\sum F = 0\) и \(\sum M = 0.\) Моменты считаем относительно точки касания \(A.\) Действующие силы: Уравнение моментов относительно точки \(A\): \(mg\sin\alpha \cdot R = T \cdot 2R\) (Плечо силы натяжения равно диаметру цилиндра) Расчет силы натяжения: \(T = \frac{mg\sin\alpha}{2} = \frac{3 \cdot 10 \cdot 0.5}{2} = 7.5\,\text{Н}\) Ответ: \(T = 7.5\,\text{Н}.\)

На рисунке изображен график зависимости координаты \(x\) материальной точки от времени \(t\) при движении вдоль оси \(OX.\) Чему было равно максимальное значение модуля скорости этой материальной точки в течение первых девяти секунд ее движения? (Ответ запишите в сантиметрах в секунду).

\(1.\) Формула для определения скорости: \(v_x = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}\) \(2.\) Анализируем график на интервале \(0-2\space с{:}\) Начальная координата \(x_0 = 50\space см.\) Конечная координата \(x = 10\space см.\) Временной интервал \(\Delta t = 2\space с.\) \(3.\) Вычисляем скорость:\(v_x = \dfrac{10-50}{2} = -20\space см/с\) \(4.\) Находим модуль скорости:\(|v_x| = 20\space см/с\) \(5.\) Проверяем другие интервалы \((2-9\spaceс)\) и убеждаемся, что скорость по модулю меньше.