Два пластилиновых шарика массами \(m_1 = 0.5\,\text{кг}\) и \(m_2 = 0.3\,\text{кг}\) движутся по одной прямой навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями \(v = 7\,\text{м/с}.\) После столкновения шарики слипаются. Найдите модуль скорости \(u\) слипшихся шариков сразу после удара. Временем взаимодействия пренебречь.

Импульс системы до столкновения равен импульсу после столкновения: \(m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = (m_1 + m_2) \vec{u}\) Учитывая противоположные направления скоростей: \(m_1 v- m_2 v = (m_1 + m_2) u\)Выражаем скорость \(u\): \(u = \frac{v (m_1- m_2)}{m_1 + m_2}\) Подставляем значения: \(u = \frac{7 \cdot (0.5- 0.3)}{0.5 + 0.3} = \frac{7 \cdot 0.2}{0.8} = 1.75\,\text{м/с}\) Ответ: скорость слипшихся шариков после столкновения равна \(u = 1.75\,\text{м/с}.\)

В заштрихованной области на рисунке действует однородное магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости рисунка. Проводящую квадратную рамку, сопротивление которой \(10\,\text{Ом}\) и длина стороны \(10\,\text{см},\) перемещают в плоскости рисунка в этом поле поступательно со скоростью \(v = 1\,\text{м/с}.\) При пересечении рамкой границы магнитного поля в рамке возникает индукционный ток, создающий тормозящую силу Ампера \(F = 10^{-5}\,\text{Н}.\) Чему равен модуль вектора индукции магнитного поля \(B?\)

\(1.\) Переводим единицы в \(СИ{:}\) \(l = 10\,\text{см} = 0.1\,\text{м}\) \(2.\) Находим \(ЭДС\) индукции при пересечении границы поля: \(\mathcal{E}_i = B v l\) \(3.\) Сила индукционного тока: \(I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = \frac{B v l}{R}\) \(4.\) Сила Ампера, действующая на сторону рамки: \(F_A = I B l = \frac{B v l}{R} \cdot B l = \frac{B^2 v l^2}{R}\) \(5.\) Выражаем индукцию магнитного поля: \(B^2 = \frac{F_A R}{v l^2}\) \(B = \sqrt{\frac{F_A R}{v l^2}} = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{F_A R}{v}}\) \(6.\) Подставляем значения: \(B = \frac{1}{0.1} \sqrt{\frac{10^{-5} \cdot 10}{1}} = 10 \cdot \sqrt{10^{-4}} = 10 \cdot 0.01 = 0.1\,\text{Тл}\) Ответ: индукция магнитного поля равна \(0.1\,\text{Тл}.\)

В комнате размерами \(4 \cdot 5 \cdot 3\,\text{м},\) в которой воздух имеет температуру \(10\,^\circ\text{C}\) и относительную влажность \(30\%,\) включили увлажнитель воздуха производительностью \(0.2\,\text{л/ч}.\) Чему станет равна относительная влажность воздуха в комнате через \(1.5\,\text{ч}?\) Давление насыщенного водяного пара при температуре \(10\,^\circ\text{C}\) равно \(1.23\,\text{кПа}.\) Комнату считать герметичным сосудом.

Объем комнаты: \(V = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60\,\text{м}^3\) Масса воды, испаренной за \(1.5\) часа. Производительность увлажнителя: \(0.2\,\text{л/ч}.\) За \(1.5\) часа испарится: \(V_{\text{в}} = 0.2 \cdot 1.5 = 0.3\,\text{л} = 0.3 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3\)Плотность воды: \(\rho = 1000\,\text{кг/м}^3,\) поэтому масса: \(m = \rho V_{\text{в}} = 1000 \cdot 0.3 \cdot 10^{-3} = 0.3\,\text{кг}\) Увеличение парциального давления водяного пара. Используем уравнение Клапейрона — Менделеева для водяного пара: \(\Delta p \cdot V = \frac{m}{M} R T\) где \(M = 0.018\,\text{кг/моль}\) — молярная масса воды, \(R = 8.31\,Дж/(моль·К),\) \(T = 10 + 273 = 283\,\text{K}.\) Выражаем \(\Delta p\): \(\Delta p = \frac{m R T}{M V}\)Подставляем значения: \(\Delta p = \frac{0.3 \cdot 8.31 \cdot 283}{0.018 \cdot 60} \approx 650\,\text{Па}\) Давление насыщенного пара при \(10\,^\circ\text{C}\): \(p_{\text{н}} = 1.23\,\text{кПа} = 1\ 230\,\text{Па}\) Начальная относительная влажность: \(\varphi_1 = 30\% = 0.3\)Начальное парциальное давление водяного пара: \(p_1 = \varphi_1 \cdot p_{\text{н}} = 0.3 \cdot 1\ 230 = 369\,\text{Па}\) Конечное парциальное давление водяного пара: \(p_2 = p_1 + \Delta p = 369 + 650 = 1\ 019\,\text{Па}\) Конечная относительная влажность: \(\varphi_2 = \frac{p_2}{p_{\text{н}}} \cdot 100\% = \frac{1\ 019}{1\ 230} \cdot 100\% \approx 82.8\% \approx 83\%\) Ответ: относительная влажность воздуха через \(1.5\) часа составит \(\varphi_2 \approx 83\%.\)

Ион с зарядом \(q = 3.2 \cdot 10^{-19} \space \text{Кл}\) и массой \(m = 1.5 \cdot 10^{-25} \space \text{кг}\) проходит ускоряющую разность потенциалов \(U = 10^3 \space \text{В}\) и после этого попадает в однородное магнитное поле с индукцией \(B = 0.2 \space \text{Тл},\) в котором движется по окружности. Определите радиус окружности, по которой ион движется в магнитном поле. Считать, что установка находится в вакууме. Силой тяжести и скоростью иона до прохождения ускоряющей разности потенциалов пренебречь.

\(1.\) При ускорении в электрическом поле ион приобретает кинетическую энергию. По теореме об изменении кинетической энергии работа электрического поля равна изменению кинетической энергии: \(qU = \frac{mv^2}{2}\) \(2.\) Выражаем скорость иона: \(v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}\) \(3.\) В магнитном поле на ион действует сила Лоренца. По второму закону Ньютона сила Лоренца создает центростремительное ускорение: \(Bqv = \frac{mv^2}{R}\) \(4.\) Выражаем радиус окружности: \(R = \frac{mv}{Bq}\) \(5.\) Подставляем выражение для скорости: \(R = \frac{m}{Bq} \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mU}{q}}\) \(6.\) Подставляем числовые значения: \(B = 0.2 \space \text{Тл},\) \(m = 1.5 \cdot 10^{-25} \space \text{кг},\) \(U = 1\space000 \space \text{В},\) \(q = 3.2 \cdot 10^{-19} \space \text{Кл}{:}\) \(R = \frac{1}{0.2} \sqrt{\frac{2 \cdot 1.5 \cdot 10^{-25} \cdot 1\space000}{3.2 \cdot 10^{-19}}} = 5 \sqrt{\frac{3 \cdot 10^{-22}}{3.2 \cdot 10^{-19}}} = 5 \sqrt{0.9\space375 \cdot 10^{-3}} = 5 \sqrt{9.375 \cdot 10^{-4}}\) \(R = 5 \cdot 0.03\space062 = 0.1\space531 \space \text{м}\) Ответ: радиус окружности равен \(0.15 \space \text{м}.\)

Тонкая однородная палочка длиной \(l = 10\,\text{см}\) и массой \(m = 0.9\,\text{г}\) поставлена в гладкий цилиндрический стакан радиусом \(R = 4\,\text{см}.\) После заполнения стакана жидкостью \(( \rho_{\text{ж}} = 0.75\rho_{\text{п}},\) высота жидкости \(h = 4\,\text{см} )\) палочка находится в равновесии. Определите силу давления \(F\) верхнего конца палочки на стенку стакана.

Геометрия системы. Высота подъема конца палочки: \(H = \sqrt{l^2- 4R^2} = \sqrt{10^2- 4\cdot4^2} = 6\,\text{см}\) Угол наклона \(\alpha\): \(\sin\alpha = \frac{H}{l} = 0.6, \quad \cos\alpha = \frac{2R}{l} = 0.8\) Сила Архимеда. Объем погруженной части: \(V_{\text{погр}} = \frac{h}{H}V = \frac{4}{6}V\) Величина силы: \(F_A = 0.75\rho_{\text{п}}gV_{\text{погр}} = 0.75mg\frac{h}{H}\) Уравнение моментов (относительно нижнего конца): \(mgR = F_A\cdot\frac{h}{2}\cdot\frac{2R}{H} + NH\) Подставляя \(F_A\): \(mgR = 0.75mg\frac{h^2R}{H^2} + NH\) Сила реакции \(N\): \(N = \frac{mgR}{H}\left(1- 0.75\frac{h^2}{H^2}\right)\) Численно: \(N = \frac{0.9\cdot10^{-3}\cdot10\cdot0.04}{0.06}\left(1- 0.75\left(\frac{4}{6}\right)^2\right) = 4\,\text{мН}\) Ответ: \(F = 4\,\text{мН}\)