В результате работы увлажнителя воздуха парциальное давление водяного пара в комнате возросло, при этом температура воздуха не изменилась. Как изменились относительная влажность воздуха и плотность водяных паров в комнате? Ответ поясните, указав, какие физические закономерности вы использовали для объяснения.

\(1)\) Так как температура воздуха в комнате не изменилась, давление насыщенных паров воды при этой температуре \(p_{\text{нас}}(T)\) остается неизменным. \(2)\) Обозначим через \(p\) парциальное давление водяного пара в комнате. По условию работы увлажнителя парциальное давление увеличилось, то есть \(p\) возросло. \(3)\) Относительная влажность определяетcя как \(\varphi=\dfrac{p}{p_{\text{нас}}(T)}\) где \(p\) — парциальное давление водяного пара, \(p_{\text{нас}}(T)\) — давление насыщенных паров при абсолютной температуре \(T.\) Поскольку \(p\) увеличилось, а \(p_{\text{нас}}(T)\) неизменно, из этого следует, что относительная влажность увеличилась. \(4)\) Плотность водяного пара можно получить из уравнения состояния идеального газа в виде \(\rho=\dfrac{pM}{RT}\) где \(M\) — молярная масса воды, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — абсолютная температура. При неизменной \(T\) и возраставшем \(p\) величина \(\rho\) увеличится пропорционально \(p.\) Следовательно плотность водяных паров в комнате увеличилась. Вывод: относительная влажность воздуха и плотность водяных паров в комнате увеличились. Ответ: относительная влажность воздуха увеличилась; плотность водяных паров увеличилась.

Тележка массой \(M = 50\,\text{кг}\) движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью \(v_0 = 1\,\text{м/с}.\) На тележке находится мальчик массой \(m = 50\,\text{кг}.\) Мальчик прыгает с тележки со скоростью \(v = 2\,\text{м/с}\) относительно дороги в направлении, противоположном начальному движению тележки. Определите модуль скорости тележки \(V\) после прыжка мальчика.

Система «тележка + мальчик» замкнута вдоль горизонтальной оси (нет внешних сил). Суммарный импульс до и после прыжка сохраняется: \((M + m)v_0 = MV- mv\) где: \((M + m)v_0\) — начальный импульс системы, \(MV\) — импульс тележки после прыжка (направлен вперед), \(-mv\) — импульс мальчика (направлен назад, так как прыжок происходит против движения тележки). Выражаем скорость тележки \(V\): \(MV = (M + m)v_0 + mv\) \(V = \frac{(M + m)v_0 + mv}{M}\) Подставляем значения: \(V = \frac{(50 + 50) \cdot 1 + 50 \cdot 2}{50} = \frac{100 \cdot 1 + 100}{50} = \frac{200}{50} = 4\,\text{м/с}\) Ответ: скорость тележки после прыжка мальчика составит \(V = 4\,\text{м/с}.\)

На дифракционную решетку, имеющую \(100\) штрихов на \(1 \space \text{мм},\) перпендикулярно ее поверхности падает луч света, длина волны которого \(\lambda = 650 \space \text{нм}.\) Каков максимальный порядок дифракционного максимума, доступного для наблюдения?

\(1)\) Находим период дифракционной решетки:\(d = \dfrac{1 \space \text{мм}}{100} = \dfrac{10^{-3}}{100} = 10^{-5} \space \text{м}\) \(2)\) Условие максимумов дифракционной решетки:\(d \sin \alpha = k \lambda\) где \(k\) — порядок дифракционного максимума. \(3)\) Максимальное значение синуса угла дифракции:\(\sin \alpha \leq 1\) \(4)\) Из условия максимума получаем ограничение:\(k \leq \dfrac{d}{\lambda}\) \(5)\) Подставляем числовые значения:\(k \leq \dfrac{10^{-5}}{650 \cdot 10^{-9}} = \dfrac{10^{-5}}{6.5 \cdot 10^{-7}} = \dfrac{10}{6.5} \approx 15.38\) \(6)\) Поскольку порядок \(k\) должен быть целым числом, наибольший возможный порядок: \(k_{max} = 15\) Ответ: \(15\) максимальный порядок дифракционного максимума.

Два школьника на уроке физики решили надуть большой пустой пластиковый пакет. Сначала один из них вдул в него изо рта объем \(V_1=3\ \text{л}\) воздуха с относительной влажностью \(\varphi_1=60\%\) и температурой \(t_1=35^\circ\text{C},\) а затем второй вдул туда же объем \(V_2=2\ \text{л}\) воздуха с относительной влажностью \(\varphi_2=40\%\) и с той же температурой. Какова будет относительная влажность воздуха \(\varphi_3\) в пакете после его остывания до комнатной температуры \(t_2=22^\circ\text{C} ?\) Давления насыщенных паров воды при температурах \(t_1\) и \(t_2\) равны, соответственно, \(p_{\text{н1}}\approx 5{.}63\ \text{кПа}\) и \(p_{\text{н2}}\approx 2{.}65\ \text{кПа}.\) Изменением объема пакета при остывании воздуха пренебречь.

\(1)\) По определению относительная влажность равна отношению парциального давления водяных паров к давлению насыщенных паров при той же температуре, то есть \(\varphi=\dfrac{p}{p_{\text{н}}}\) \(2)\) Пусть после объединения двух порций воздуха суммарный объем пакета равен \(V=V_1+V_2.\) Изначально обе порции находятся при температуре \(T_1\); их парциальные давления водяного пара равны \(p_1=\varphi_1 p_{\text{н1}}\) и \(p_2=\varphi_2 p_{\text{н1}}.\) Число молей водяного пара в первой и второй порциях равно \(\dfrac{p_1 V_1}{R T_1}\) и \(\dfrac{p_2 V_2}{R T_1}\) соответственно, поэтому общее число молей водяного пара после смешивания \(n=\dfrac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{R T_1}\) \(3)\) При остывании до температуры \(T_2\) (мы пренебрегаем изменением объема пакета) парциальное давление водяного пара, если конденсации не произошло, равно \(p’=\dfrac{n R T_2}{V}=\dfrac{(p_1 V_1 + p_2 V_2)T_2}{T_1 V}\) Отсюда относительная влажность в конечном состоянии будет равна \(\varphi_3=\dfrac{p’}{p_{\text{н2}}}=\dfrac{(p_1 V_1 + p_2 V_2)T_2}{p_{\text{н2}}\,T_1 V}\) Подставляя \(p_{1.2}=\varphi_{1.2} p_{\text{н1}},\) получаем удобную формулу \(\varphi_3=\dfrac{p_{\text{н1}}}{p_{\text{н2}}}\cdot\dfrac{T_2}{T_1}\cdot\dfrac{\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2}{V_1+V_2}\) \(4)\) Переведем температуры в Кельвины: \(T_1=35^\circ\text{C}+273{.}15=308{.}15\ \text{К}\) \(T_2=22^\circ\text{C}+273{.}15=295{.}15\ \text{К}\) Подставим численные значения (в относительных единицах влажности используем дроби: \(\varphi_1=0{.}6,\) \(\varphi_2=0{.}4{:})\) \(\varphi_3=\dfrac{5{.}63}{2{.}65}\cdot\dfrac{295{.}15}{308{.}15}\cdot\dfrac{0{.}6\cdot 3 + 0{.}4\cdot 2}{3+2}\) Вычислим по шагам: \(\dfrac{5{.}63}{2{.}65}\approx 2{.}1245\) \(\dfrac{295{.}15}{308{.}15}\approx 0{.}9580\) \(\dfrac{0{.}6\cdot 3 + 0{.}4\cdot 2}{5}=\dfrac{1{.}8+0{.}8}{5}=0{.}52\) Умножая, получаем \(\varphi_3\approx 2{.}1245\cdot 0{.}9580\cdot 0{.}52\approx 1{.}058>1\) \(5)\) Полученное значение \(\varphi_3\) больше \(1,\) это означает, что при oстывании часть водяного пара конденсируется и пар в пакете становится насыщенным. Следовательно окончательная относительная влажность воздуха в пакете равна \(100\%.\) Ответ: \(\varphi_3=100\%\)

На рисунке изображена электрическая цепь, состоящая из резисторов \(R_1 = R,\) \(R_2 = 2R,\) источника с внутренним сопротивлением \(r = R\) и ключа \(K.\) Когда ключ \(K\) разомкнут, на резисторе \(R_1\) выделяется мощность \(P_1 = 4.9 \space Вт.\) Какая мощность выделяется во внешней цепи при замкнутом ключе \(K?\)

\(1)\) При разомкнутом ключе ток проходит через резистор \(R_1.\) По закону Ома для полной цепи сила тока в цепи для данного случая равна: \(I_1 = \dfrac{\mathscr{E}}{R_1 + r} = \dfrac{\mathscr{E}}{2R}\) На внешней цепи выделяется мощность \(P_1 = I_1^2R_1 = \dfrac{\mathscr{E}^2}{4R}\) \(2)\) При замкнутом ключе ток проходит через параллельно соединенные резисторы, общее сопротивление которых: \(R_o = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{2R}{3}\) \(3)\) По закону Ома для полной цепи сила тока: \(I_2 = \dfrac{\mathscr{E}}{R_o + r} = \dfrac{\mathscr{E}}{\dfrac{5R}{3}} = \dfrac{3\mathscr{E}}{5R}\) \(4)\) Выделяющаяся мощность тока при замкнутом ключе: \(P_2 = I_2^2R_o = \left(\dfrac{3\mathscr{E}}{5R}\right)^2 \cdot \dfrac{2R}{3} = \dfrac{6\mathscr{E}^2}{25R}\) \(5)\) Находим отношение мощностей: \(\dfrac{P_1}{P_2} = \dfrac{\dfrac{\mathscr{E}^2}{4R}}{\dfrac{6\mathscr{E}^2}{25R}} = \dfrac{25}{24}\) \(6)\) Находим мощность тока на внешней цепи при замкнутом ключе: \(P_2 = \dfrac{24}{25}P_1 = \dfrac{24}{25} \cdot 4.9 = 4.704 \space Вт\) Ответ: \(4.704 \space Вт.\)