Цилиндр массой \(m = 1\,\text{кг}\) и радиусом \(R = 20\,\text{см}\) находится в равновесии на шероховатой наклонной плоскости \((\)коэффициент трения \(\mu = 0.5).\) К цилиндру прикреплена невесомая нить, параллельная плоскости и закрепленная на вертикальной стенке. Найдите предельный угол наклона плоскости \(\alpha,\) при котором возможно равновесие цилиндра.

Обоснование. Используем инерциальную систему отсчета. Цилиндр — абсолютно твердое тело. Условия равновесия: \(\sum F = 0\) и \(\sum M = 0.\) Моменты считаем относительно точки касания \(A.\) Действующие силы: Моменты относительно точки \(A\): \(mg\sin\alpha \cdot R = T \cdot 2R \implies T = \frac{mg\sin\alpha}{2}\) Проекции на оси:\(T + F_{тр} = mg\sin\alpha\) \(N = mg\cos\alpha\) Предельное условие. Подставляем \(F_{тр} = \mu N\) и \(T\): \(\frac{mg\sin\alpha}{2} + \mu mg\cos\alpha = mg\sin\alpha\)Упрощаем: \(\mu\cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{2}\) \(\tan\alpha = 2\mu = 1 \implies \alpha = 45^\circ\) Ответ: \(\alpha_{\text{пред}} = 45^\circ.\)

Тело разгоняется на прямолинейном участке пути, при этом зависимость пройденного телом пути \(S\) от времени \(t\) имеет вид: \(S = 4t + t^2\) Чему равна скорость тела в момент времени \(t = 2\space с\) при таком движении? (Ответ дайте в метрах в секунду).

\(1.\) Общий вид уравнения пути при равноускоренном движении: \(S(t) = v_0 t + \frac{a t^2}{2}\) \(2.\) Сравниваем с заданным уравнением \(S = 4t + t^2\): Начальная скорость \(v_0 = 4\space м/с\) Ускорение \(\dfrac{a}{2} = 1 \Rightarrow a = 2\space м/с\) \(^2\) \(3.\) Формула скорости при равноускоренном движении: \(v(t) = v_0 + a t\) \(4.\) Вычисляем скорость при \(t = 2\space с:\) \(v(2) = 4 + 2 \cdot 2 = 8 \text{ м/с}\)

На брусок массой \(5\space кг,\) движущийся по горизонтальной поверхности, действует сила трения скольжения \(20\space Н.\) Чему будет равна сила трения скольжения, если коэффициент трения уменьшится в \(2\) раза при неизменной массе? Ответ дайте в ньютонах.

Сила трения определяется формулой: \(F_{тр} = \mu N = \mu m g\) где: \(\mu\) — коэффициент трения; \(N = mg\) — сила нормальной реакции опоры; \(m\) — масса тела; \(g\) — ускорение свободного падения. \(1.\) Для исходного случая: \(F_{тр1} = \mu_1 m g = 20\,\text{Н}\) \(2.\) После уменьшения коэффициента трения: \(\mu_2 = \frac{\mu_1}{2}\) \(3.\) Новая сила трения \((\)при неизменной массе \(m = 5\space кг){:}\) \(F_{тр2} = \mu_2 m g = \frac{\mu_1}{2} m g = \frac{F_{тр1}}{2} = \frac{20}{2} = 10\,\text{Н}\)

Тело массой \(2\,\text{кг}\) движется прямолинейно под действием постоянной силы \(3\,\text{Н}\). На сколько увеличится импульс тела за \(5\,\text{с}\) движения? Ответ дайте в \(\text{кг}\cdot\text{м/с}\).

Формула изменения импульса: Изменение импульса тела равно произведению силы на время ее действия: \(\Delta p = F \cdot \Delta t\) 2. Подстановка значений: \(\Delta p = 3\,\text{Н} \cdot 5\,\text{с} = 15\,\text{кг}\cdot\text{м/с}\)

Во сколько раз уменьшится период свободных гармонических колебаний математического маятника, если его длину уменьшить в \(4\) раза?

Формула периода колебаний: Период колебаний математического маятника определяется выражением: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\)где: — \(l\) — длина нити, — \(g\) — ускорение свободного падения. 2. Зависимость периода от длины: Из формулы видно, что период \(T\) пропорционален квадратному корню из длины нити: \(T \sim \sqrt{l}.\) 3. Изменение длины нити: Исходная длина нити: \(l_0\), Новая длина нити: \(l_1 = \frac{l_0}{4}\). 4. Расчет изменения периода: Отношение периодов до и после изменения длины: \(\frac{T_1}{T_0} = \sqrt{\frac{l_1}{l_0}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}.\) 5. Итоговый вывод: Период колебаний уменьшится в \(2\) раза.