Легковой автомобиль массой \(m_1 = 1\ 000\,\text{кг}\) движется со скоростью \(v_1 = 108\,\text{км/ч}\), а грузовик массой \(m_2 = 3\ 000\,\text{кг}\) — со скоростью \(v_2 = 54\,\text{км/ч}\). На сколько импульс грузовика больше импульса легкового автомобиля? Ответ дайте в \(\text{кг}\cdot\text{м/с}\).

Перевод скоростей в СИ: \(v_1 = 108\,\text{км/ч} = \frac{108}{3.6} = 30\,\text{м/с}\) \(v_2 = 54\,\text{км/ч} = \frac{54}{3.6} = 15\,\text{м/с}\) 2. Расчет импульсов: — Импульс автомобиля: \(p_1 = m_1 v_1 = 1\ 000\,\text{кг} \cdot 30\,\text{м/с} = 30\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с}\) — Импульс грузовика: \(p_2 = m_2 v_2 = 3\ 000\,\text{кг} \cdot 15\,\text{м/с} = 45\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с}\) 3. Вычисление разности импульсов: \(\Delta p = p_2 -p_1 = 45\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с} -30\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с} = 15\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м/с}\)

Смещение груза пружинного маятника от положения равновесия изменяется со временем по закону: \(x = A \cos \left( \frac{2\pi}{T} t \right),\) где период колебаний \(T = 0.4 \, \text{с}\). Через какое минимальное время, начиная с момента \(t = 0\), кинетическая энергия маятника достигнет максимального значения? Ответ запишите в секундах.

Анализ уравнения движения: Уравнение координаты маятника имеет вид: \(x = A \cos \left( \frac{2\pi}{T} t \right).\) При \(t = 0\): \(\cos(0) = 1 \quad \Rightarrow \quad x = A.\) Это означает, что в начальный момент времени груз находится в крайней точке траектории, где его скорость (и кинетическая энергия) равна нулю. 2. Кинетическая энергия маятника: Кинетическая энергия максимальна в положении равновесия \((x = 0),\) где скорость груза достигает наибольшего значения. 3. Нахождение времени: Для достижения положения равновесия \((x = 0)\) должно выполняться условие: \(\cos \left( \frac{2\pi}{T} t \right) = 0.\) Первое решение этого уравнения: \(\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{T}{4}.\) Подставляем значение периода \(T = 0.4 \, \text{с}\): \(t = \frac{0.4}{4} = 0.1 \, \text{с}.\)

В таблице представлены данные о положении шарика, прикрепленного к пружине и колеблющегося вдоль горизонтальной оси \(Ox\), в различные моменты времени. УТВЕРЖДЕНИЯ: \(1.\) Потенциальная энергия пружины в момент времени \(2.0 \, \text{с}\) максимальна. \(2.\) Период колебаний шарика равен \(4.0 \, \text{с}.\) \(3.\) Кинетическая энергия шарика в момент времени \(1.0 \, \text{с}\) минимальна. \(4.\) Амплитуда колебаний шарика равна \(30 \, \text{мм}.\) \(5.\) Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени \(2.0 \, \text{с}\) минимальна.

Проверим правильность утверждений. \(1.\) В момент времени \(t = 2.0 \, \text{с}\) шарик находится в положении \(x = 0 \, \text{мм}\), что соответствует положению равновесия. В этом положении деформация пружины минимальна, а значит, ее потенциальная энергия также минимальна. Утверждение \(1\) неверно. \(2.\) Из таблицы видно, что за время от \(0.0 \, \text{с}\) до \(2.0 \, \text{с}\) шарик прошел половину полного колебания (от \(x = 0\) до \(x = 15\) и обратно до \(x = 0\)). Следовательно, период колебаний равен \(T = 4.0 \, \text{с}\). Утверждение \(2\) верно. \(3.\) В момент времени \(t = 1.0 \, \text{с}\) шарик достигает максимального отклонения (\(x = 15 \, \text{мм}\)). В этой точке скорость шарика равна нулю, поэтому его кинетическая энергия минимальна. Утверждение \(3\) верно. \(4.\) Максимальное отклонение шарика от положения равновесия составляет \(15 \, \text{мм}\) (по модулю). Таким образом, амплитуда колебаний равна \(A = 15 \, \text{мм}\). Утверждение \(4\) неверно. \(5.\) Полная механическая энергия системы (шарик + пружина) сохраняется в течение всего времени колебаний, так как диссипативные силы отсутствуют. Поэтому она не может быть минимальной в какой-либо момент времени. Утверждение \(5\) неверно.

Легкий ящик с грузом массой \(m\) скользит с ускорением по шероховатой наклонной плоскости. Как изменятся следующие величины, если массу груза уменьшить до \(0.5m\) Для каждой величины выберите характер изменения: \(1.\) Увеличится \(2.\) Уменьшится \(3.\) Не изменится Максимальная скорость ящика | Работа силы нормальной реакции опоры

Максимальная скорость. Ускорение ящика: \(a = g(\sin\alpha- \mu\cos\alpha)\) Ускорение не зависит от массы груза. Конечная скорость: \(v = \sqrt{2aL}\)При неизменном \(a\) и \(L\) скорость не изменится. Работа силы реакции. Сила реакции \(N\) перпендикулярна перемещению Работа перпендикулярной силы всегда равна нулю: \(A_N = 0\)Работа не изменится.

В сосуде постоянного объема находится идеальный газ. Во сколько раз нужно увеличить количество вещества газа, чтобы после уменьшения абсолютной температуры в \(2\) раза его давление стало вдвое больше начального?

Уравнение состояния для начального состояния: \(p_1V = \nu_1RT_1\) 2. Уравнение состояния для конечного состояния: \(p_2V = \nu_2RT_2\)где: \(T_2 = \frac{T_1}{2}\) (температура уменьшилась в \(2\) раза) \(p_2 = 2p_1\) (давление увеличилось в \(2\) раза) 3. Подставляем условия: \(2p_1V = \nu_2R\left(\frac{T_1}{2}\right)\) 4. Выражаем отношение количеств вещества: \(\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{2p_1V \cdot 2}{RT_1} \cdot \frac{RT_1}{p_1V} = 4\)