Необходимо экспериментально изучить зависимость емкости плоского конденсатора от свойств диэлектрика, помещенного между его пластинами. На всех представленных рисунках \(S\) — площадь пластин конденсатора, \(d\) — расстояние между пластинами. Какие две установки следует использовать для проведения такого исследования?

\(1)\) Емкость плоского конденсатора вычисляется по формуле: \(C = \dfrac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}\) где \(\varepsilon\) — диэлектрическая проницаемость материала между пластинами. \(2)\) Чтобы изучить влияние диэлектрика на емкость, нужно сравнивать конденсаторы с одинаковыми геометрическими параметрами, но разными диэлектриками. То есть должны совпадать: \(3)\) Сравнивая установки, видим, что условиям удовлетворяют установки \(1\) и \(3{:}\) \(4)\) В других установках либо площадь пластин, либо расстояние между ними различаются, что не позволяет выделить влияние только диэлектрика.

Зимой по краям заснеженных наклонных крыш домов часто образуются сосульки, которые при не слишком морозной погоде быстро растут и могут сорваться и упасть, представляя большую опасность для проходящих внизу людей. На крышах многих современных загородных домов сосульки, однако, не образуются благодаря специальной конструкции этих крыш: они двухслойные, и между верхним и нижним слоями имеется зазор, в котором воздух может свободно циркулировать и выходить наружу. Объясните, опираясь на известные физические законы и закономерности, причину образования сосулек в первом случае и их отсутствие во втором случае.

\(1)\) Источник тепла и направление теплообмена. Жилые дома зимой отапливаются, поэтому через крышу вверх постоянно идет поток теплого воздуха и теплопоток от внутреннего объема дома к наружной среде. Этот поток обеспечивает приток тепла к слою снега, прилегающему к верхней поверхности кровли. \(2)\) Низкая теплопроводность снега. Слой снега имеет малую теплопроводность \(k,\) поэтому между внутренней (подстилочной) и внешней поверхностями этого слоя возникает значительная градиент температур. Снег, соприкасающийся с нагретой крышей, прогревается до температуры плавления и начинает таять. Это описывается законом Фурье для теплопроводности: \(q=-k\dfrac{dT}{dx}\) где \(q\) — плотность теплового потока, \(k\) — коэффициент теплопроводности снега, \(dT/dx\) — температурный градиент через толщу снега. \(3)\) Образование и рост сосулек на однослойной крыше. Образовавшаяся при таянии вода стекает по наклонной поверхности крыши вниз и, выйдя за край крыши, попадает в более холодную внешнюю среду. На холодном воздухе эта вода быстро замерзает, образуя ледяную нить; по мере поступления новой талой воды лед на краю нарастает — возникает сосулька. Таким образом: тепло от дома плавит снег у кромки крыши, вода стекает и замерзает на холодном воздухе, образуя и увеличивая сосульки. \(4)\) Причина отсутствия сосулек при двухслойной конструкции. При двуслойной крыше между слоями существует зазор, обеспечивающий свободную циркуляцию воздуха. Теплый воздух из подкровельного пространства уносится в этот зазор и уходит наружу прежде, чем заметно нагреет верхний слой снега. За счет вентиляции конвекционные потоки выносят теплоту наружу, поэтому верхний слой кровли и прилегающий к нему снег остаются холоднее, чем при монолитной конструкции. Вследствие этого снег не прогревается до температуры плавления, талая вода не образуется, и, соответственно, нет стока воды на край крыши и нет образования сосулек. \(5)\) Физическая интерпретация в терминах сопротивлений теплопереносу. Общий тепловой поток от внутреннего объема дома наружу определяется суммой тепловых сопротивлений теплопроводности слоя кровли и сопротивления вентиляционного оттока тепла. Для однослойной крыши основным каналом является теплопроводность через крышу, и \(T_{\text{поверх}}\) повышается до близкой к \(T_{\text{плав}}.\) Для вентилируемой крыши эффективный тепловой отвод увеличивается за счет конвекции в зазоре, поэтому \(T_{\text{поверх}}\) остается значительно ниже температуры плавления снега. Итог. На однослойных теплых крышах снег у кромки нагревается и тает, талая вода стекает и замерзает на холодном воздухе, образуя и увеличивая сосульки. На двухслойных вентилируемых крышах зазор обеспечивает унос тепла наружу конвекцией, верхний слой снега не прогревается до плавления, талой воды нет и сосулек не образуется. Ответ: сосульки образуются на однослойных крышах из-за прогрева снега и стока талой воды, а на двухслойных вентилируемых крышах — отсутствуют, поскольку вентиляция отводит тепло и не дает снегу прогреться до плавления.

С балкона высотой \(h=20\ \text{м}\) упал на землю мяч массой \(m=0.2\ \text{кг}.\) Из-за сопротивления воздуха скорость мяча у земли оказалась на \(20\%\) меньше скорости тела, свободно падающего с высоты \(20\ \text{м}.\) Чему равен импульс мяча в момент удара о землю?

Определим скорость свободно падающего тела без сопротивления воздуха. По закону сохранения энергии \(\dfrac{m v_1^2}{2}=m g h\) откуда \(v_1=\sqrt{2 g h}\) Подставляя \(g=10\ \text{м/с}^2\) и \(h=20\ \text{м},\) получаем \(v_1=\sqrt{2\cdot 10\cdot 20}=20\ \text{м/с}.\) По условию реальная скорость у земли на \(20\%\) меньше, поэтому \(v_2=0.8\,v_1=0.8\cdot 20=16\ \text{м/с}\) Импульс мяча в момент удара равен \(p=m v_2=0.2\cdot 16=3.2\ \text{кг}\cdot\text{м/с}\) Ответ: \(p=3.2\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.\)

Предмет находится на расстоянии \(25 \space \text{см}\) от тонкой собирающей линзы с оптической силой \(5 \space \text{дптр}.\) На каком расстоянии от линзы находится изображение предмета? Постройте изображение предмета в линзе.

\(1)\) Найдем фокусное расстояние линзы по формуле:\(F = \dfrac{1}{D} = \dfrac{1}{5} = 0.2 \space \text{м} = 20 \space \text{см}\) \(2)\) Сравним положение предмета с фокусным расстоянием: \(d = 25 \space \text{см},\) \(F = 20 \space \text{см}.\) Предмет находится за фокусом, но перед двойным фокусом \((2F = 40 \space \text{см}).\) \(3)\) Используем формулу тонкой линзы:\(\dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{F}\) \(4)\) Выразим расстояние до изображения \(f{:}\) \(f = \dfrac{Fd}{d- F}\) \(5)\) Подставим числовые значения: \(f = \dfrac{20 \cdot 25}{25- 20} = \dfrac{500}{5} = 100 \space \text{см} = 1 \space \text{м}\) \(6)\) Для построения изображения используем два характерных луча: — Луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется — Луч, параллельный главной оптической оси, после преломления проходит через фокус \(7)\) Изображение будет действительным, перевернутым, увеличенным и расположенным за двойным фокусом. Ответ: \(1 \space \text{м}\) расстояние от линзы до изображения предмета.

Гелий в количестве \(\nu=3\ \text{моль}\) изобарно сжимают, совершая работу \(A_1=2{.}4\ \text{кДж}.\) При этом температура гелия уменьшается в 4 раза: \(T_2=\dfrac{T_1}{4}.\) Затем газ адиабатически расширяется, при этом его температура изменяется до значения \(T_3=\dfrac{T_1}{8}.\) Найдите работу газа \(A_2\) при адиабатическом расширении. Количество вещества в процессах остается неизменным.

\(1)\) Для изобарного процесса выполнена связь между работой и изменением температуры. Так как \(p\Delta V=\nu R\Delta T,\) модуль совершаемой работы при переходе из состояния с температурой \(T_1\) в состояние с температурой \(T_2\) равен \(A_1=\nu R(T_1-T_2)\) \(2)\) Подставим соотношение \(T_2=\dfrac{T_1}{4},\) тогда \(T_1-T_2=T_1-\dfrac{T_1}{4}=\dfrac{3}{4}T_1\) и поэтому \(A_1=\nu R\cdot \dfrac{3}{4}T_1=\dfrac{3}{4}\,\nu R T_1\) \(3)\) В адиабатическом процессе \(Q=0,\) поэтому по первому началу термодинамики \(\Delta U + A_2=0,\) где \(A_2\) — работа, совершенная газом при расширении. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии равно \(\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R (T_3-T_2).\) Отсюда \(A_2=-\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R (T_2-T_3)\) \(4)\) Найдем разность температур в адиабатическом процессе, используя заданные отношения: \(T_2-T_3=\dfrac{T_1}{4}-\dfrac{T_1}{8}=\dfrac{T_1}{8}\) Подставляя в выражение для \(A_2,\) получаем \(A_2=\dfrac{3}{2}\nu R\cdot \dfrac{T_1}{8}=\dfrac{3}{16}\,\nu R T_1\) \(5)\) Сравним \(A_2\) с \(A_1.\) По пункту \(2)\) \(A_1=\dfrac{3}{4}\nu R T_1,\) поэтому \(\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{\dfrac{3}{16}\nu R T_1}{\dfrac{3}{4}\nu R T_1}=\dfrac{1}{4}\) То есть \(A_2=\dfrac{A_1}{4}\) \(6)\) Подставим числовое значение \(A_1=2{.}4\ \text{кДж}=2400\ \text{Дж}{:}\) \(A_2=\dfrac{2400}{4}=600\ \text{Дж}\) Ответ: \(A_2=600\ \text{Дж}\)