Шар массой \(2 \space \text{кг},\) подвешенный на нити длиной \(40 \space \text{см},\) отводят от положения равновесия на угол \(60^\circ\) и отпускают. В момент прохождения шаром положения равновесия в него попадает пуля массой \(20 \space \text{г},\) летящая навстречу шару со скоростью \(200 \space \text{м/с}.\) Она пробивает его и продолжает двигаться горизонтально со скоростью \(100 \space \text{м/с},\) после чего шар продолжает движение в прежнем направлении. Найти косинус максимального угла отклонения шара от вертикали после попадания пули. Масса шара после пробоя почти не изменилась. Обоснование применимости используемых законов.

Обоснование: \(1)\) Введем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей. \(2)\) Тела движутся поступательно, размеры малы по сравнению с длиной нити, поэтому шарик и пулю можно считать материальными точками. \(3)\) Время взаимодействия пули и шарика мало, поэтому за это время нить не успевает заметно отклониться. В горизонтальном направлении внешние силы отсутствуют, поэтому сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы. \(4)\) После удара механическая энергия шарика сохраняется, так как работа силы натяжения нити равна нулю. \(5)\) За нулевой уровень потенциальной энергии примем уровень положения равновесия шарика. Решение: \(1)\) Найдем скорость шара \(v_0\) в нижней точке до удара. По закону сохранения энергии: \(MgL(1- \cos \alpha) = \dfrac{Mv_0^2}{2}\) \(2)\) Выразим скорость \(v_0{:}\) \(v_0 = \sqrt{2gL(1- \cos \alpha)}\) \(3)\) Подставим числовые значения \(\alpha = 60^\circ,\) \(\cos 60^\circ = 0.5,\) \(L = 0.4 \space \text{м},\) \(g = 10 \space \text{м/с}^2{:}\) \(v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0.4 \cdot (1- 0.5)} = \sqrt{8 \cdot 0.5} = \sqrt{4} = 2 \space \text{м/с}\) \(4)\) Запишем закон сохранения импульса в горизонтальном направлении. Направим ось в направлении начального движения шара: \(Mv_0- mv_1 = Mu- mv_2\) где \(v_1 = 200 \space \text{м/с}\) — скорость пули до удара, \(v_2 = 100 \space \text{м/с}\) — скорость пули после удара, \(u\) — скорость шара после удара. \(5)\) Выразим скорость шара после удара: \(u = v_0- \dfrac{m}{M}(v_1- v_2)\) \(6)\) Подставим числовые значения \(M = 2 \space \text{кг},\) \(m = 0.02 \space \text{кг}{:}\) \(u = 2- \dfrac{0.02}{2}(200- 100) = 2- 0.01 \cdot 100 = 2- 1 = 1 \space \text{м/с}\) \(7)\) После удара шар поднимается на максимальную высоту. По закону сохранения энергии: \(\dfrac{Mu^2}{2} = MgL(1- \cos \beta)\) \(8)\) Выразим \(\cos \beta{:}\) \(\cos \beta = 1- \dfrac{u^2}{2gL}\) \(9)\) Подставим числовые значения: \(\cos \beta = 1- \dfrac{1^2}{2 \cdot 10 \cdot 0.4} = 1- \dfrac{1}{8} = 1- 0.125 = 0.875\) Ответ: \(0.875\) косинус максимального угла отклонения шара от вертикали после попадания пули.

На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени. Чему равна проекция ускорения тела в момент времени \(16\space с?\) Ответ выразите в метрах на секунду в квадрате.

\(1.\) Анализируя график, видим, что на интервале времени от \(10\) до \(20\space с\) проекция скорости тела остается постоянной. \(2.\) Ускорение вычисляется как производная скорости по времени:\(a_x = \frac{dv_x}{dt}\) \(3.\) Поскольку скорость не изменяется \((\Delta v_x = 0),\) проекция ускорения равна: \(a_x = 0 \text{ м/с}^2\)

На брусок массой \(5\space кг,\) движущийся по горизонтальной поверхности, действует сила трения скольжения \(10\space Н.\) Если, не изменяя коэффициента трения, увеличить в \(2\) раза силу давления бруска на плоскость, чему будет равна сила трения скольжения? Ответ дайте в ньютонах.

Сила трения скольжения определяется как: \(F_{\text{тр}} = \mu N\)где: \(\mu\) — коэффициент трения (по условию постоянный); \(N\) — сила нормальной реакции опоры. Третий закон Ньютона. Сила реакции опоры равна по модулю силе давления: \(N = P\) \(1.\) Для исходного состояния: \(F_{\text{тр1}} = \mu P_1 = 10\,\text{Н}\) \(2.\) После увеличения силы давления:\(P_2 = 2P_1\) \(3.\) Вычисляем новую силу трения: \(F_{\text{тр2}} = \mu P_2 = \mu (2P_1) = 2(\mu P_1) = 2 \cdot 10 = 20\,\text{Н}\)

Отношение импульса легкового автомобиля к импульсу мотоцикла составляет \(5:1.\) При этом отношение массы автомобиля к массе мотоцикла равно \(2.5:1.\) Определите отношение скоростей автомобиля и мотоцикла.

Дано: — Отношение импульсов: \(\frac{p_1}{p_2} = 5\) — Отношение масс: \(\frac{m_1}{m_2} = 2.5\) 2. Формулы импульсов: — Импульс автомобиля: \(p_1 = m_1 v_1\) — Импульс мотоцикла: \(p_2 = m_2 v_2\) 3. Выражение для скоростей: \(v_1 = \frac{p_1}{m_1}, \quad v_2 = \frac{p_2}{m_2}\) 4. Расчет отношения скоростей: \(\frac{v_1}{v_2} = \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{m_2}{m_1} = 5 \cdot \frac{1}{2.5} = 2\)

Рычаг находится в равновесии под действием двух сил: \(F_1 = 5\,\text{Н}\) и \(F_2 = 8\,\text{Н}\). Плечо силы \(F_2\) составляет \(l_2 = 10\,\text{см}\). Определите плечо силы \(F_1\). Ответ запишите в сантиметрах.

Условие равновесия рычага: Для рычага в равновесии выполняется равенство моментов сил: \(F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2\) 2. Известные величины: — Сила \(F_1 = 5\,\text{Н}\) — Сила \(F_2 = 8\,\text{Н}\) — Плечо \(l_2 = 10\,\text{см} = 0.1\,\text{м}\) 3. Вычисление плеча \(l_1\): Выразим \(l_1\) из условия равновесия: \(l_1 = \frac{F_2 \cdot l_2}{F_1} = \frac{8\,\text{Н} \cdot 0.1\,\text{м}}{5\,\text{Н}}\) 4. Расчет: \(l_1 = \frac{0.8\,\text{Н}\cdot\text{м}}{5\,\text{Н}} = 0.16\,\text{м} = 16\,\text{см}\)