Плоский воздушный конденсатор и резистор сопротивлением \(R = 12 \space \text{Ом}\) соединены параллельно и подключены к источнику тока. \(ЭДС\) источника равна \(\mathcal{E} = 9 \space \text{В},\) его внутреннее сопротивление \(r = 3 \space \text{Ом}.\) Чему равен модуль напряженности электрического поля в конденсаторе, если расстояние между его пластинами равно \(d = 2 \space \text{мм}?\)

\(1)\) Так как резистор и конденсатор соединены параллельно, то напряжения на них одинаковы \(U_C = U_R.\) \(2)\) По закону Ома для участка цепи напряжение на резисторе: \(U_R = IR\) где \(I\) — сила тока через резистор. \(3)\) Ток через конденсатор не течет, поэтому по закону Ома для полной цепи: \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{R + r}\) \(4)\) Напряжение на конденсаторе связано с напряженностью \(E\) электрического поля внутри него: \(U_C = Ed\) \(5)\) Объединяя полученные выражения, получим: \(Ed = \dfrac{\mathcal{E}R}{R + r}\) \(6)\) Отсюда находим напряженность электрического поля: \(E = \dfrac{\mathcal{E}R}{d(R + r)}\) \(7)\) Подставляем числовые значения: \(E = \dfrac{9 \cdot 12}{2 \cdot 10^{-3} \cdot (12 + 3)} = \dfrac{108}{2 \cdot 10^{-3} \cdot 15} = \dfrac{108}{0.03} = 3\space600 \space \text{В/м}\) Ответ: \(3\space600 \space \text{В/м}\) модуль напряженности электрического поля в конденсаторе.

По гладкой наклонной плоскости, составляющей угол \(\alpha = 30^\circ\) с горизонтом, скользит из состояния покоя брусок массой \(M = 250 \space \text{г}.\) В тот момент, когда брусок прошел по наклонной плоскости расстояние \(x = 3.6 \space \text{м},\) в него попала и застряла в нем летящая навстречу ему вдоль наклонной плоскости пуля массой \(m.\) Скорость пули \(v = 555 \space \text{м/с}.\) После попадания пули брусок поднялся вверх вдоль наклонной плоскости на расстояние \(S = 2.5 \space \text{м}\) от места удара. Найдите массу пули \(m.\) Трение бруска о плоскость не учитывать. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.

Обоснование: \(1)\) Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной. \(2)\) При движении бруска по гладкой наклонной плоскости работа силы реакции опоры равна нулю, поэтому механическая энергия сохраняется. \(3)\) При столкновении время взаимодействия мало, поэтому силой тяжести можно пренебречь по сравнению с силой взаимодействия, и закон сохранения импульса выполняется. Решение: \(1)\) Найдем скорость бруска \(v_1\) в момент удара. По закону сохранения энергии: \(Mgx \sin \alpha = \dfrac{Mv_1^2}{2}\) \(2)\) Выразим скорость \(v_1{:}\) \(v_1 = \sqrt{2gx \sin \alpha}\) \(3)\) Подставим числовые значения \(g = 10 \space \text{м/с}^2,\) \(x = 3.6 \space \text{м},\) \(\sin 30^\circ = 0.5{:}\) \(v_1 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 3.6 \cdot 0.5} = \sqrt{36} = 6 \space \text{м/с}\) \(4)\) Запишем закон сохранения импульса при неупругом ударе. Направим ось вверх вдоль наклонной плоскости: \(-Mv_1 + mv = (M + m)u\) \(5)\) После удара брусок с пулей поднимаются на высоту. По закону сохранения энергии: \(\dfrac{(M + m)u^2}{2} = (M + m)gS \sin \alpha\) \(6)\) Выразим скорость \(u\) после удара: \(u = \sqrt{2gS \sin \alpha}\) \(7)\) Подставим числовые значения \(S = 2.5 \space \text{м}{:}\) \(u = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2.5 \cdot 0.5} = \sqrt{25} = 5 \space \text{м/с}\) \(8)\) Из закона сохранения импульса выразим массу пули \(m{:}\) \(-Mv_1 + mv = (M + m)u\) \(mv- mu = Mv_1 + Mu\) \(m(v- u) = M(v_1 + u)\) \(m = \dfrac{M(v_1 + u)}{v- u}\) \(9)\) Подставим числовые значения \(M = 0.25 \space \text{кг},\) \(v_1 = 6 \space \text{м/с},\) \(u = 5 \space \text{м/с},\) \(v = 555 \space \text{м/с}{:}\) \(m = \dfrac{0.25 \cdot (6 + 5)}{555- 5} = \dfrac{0.25 \cdot 11}{550} = \dfrac{2.75}{550} = 0.005 \space \text{кг} = 5 \space \text{г}\) Ответ: \(5 \space \text{г}\) масса пули.

Автомобиль движется прямолинейно. На графике представлена зависимость скорости автомобиля от времени. Чему равен минимальный модуль ускорения? Ответ выразите в метрах на секунду в квадрате.

\(1.\) Найдем ускорение на каждом временном интервале, используя формулу: \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\) \(2.\) Интервал \(0-10\space с{:}\) \(a_1 = \frac{5-0}{10} = 0.5 \text{ м/с}^2\) \(3.\) Интервал \(10-20\space с{:}\) \(a_2 = \frac{20-5}{10} = 1.5 \text{ м/с}^2\) \(4.\) Интервал \(20-30\space с{:}\) \(a_3 = \frac{0-20}{10} = -2 \text{ м/с}^2\) \(5.\) Интервал \(30-40\space с{:}\) \(a_4 = \frac{10-0}{10} = 1 \text{ м/с}^2\) \(6.\) Вычислим модули полученных ускорений: \(|a_1| = 0.5 \text{ м/с}^2\) \(|a_2| = 1.5 \text{ м/с}^2\) \(|a_3| = 2 \text{ м/с}^2\) \(|a_4| = 1 \text{ м/с}^2\)

Брусок массой \(20\space кг\) равномерно перемещают по горизонтальной поверхности, прикладывая к нему постоянную силу \(75\space Н,\) направленную под углом \(30^\circ\) к поверхности. Определите коэффициент трения между бруском и плоскостью. Ответ округлите до десятых долей.

Второй закон Ньютона для равномерного движения. При равномерном движении \((a=0)\) сумма проекций всех сил на каждую ось равна нулю: \(\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0\) \(1.\) Разложим силу \(F=75\space Н\) на составляющие: \(F_x = F\cos30^\circ = 75\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx64.95\,\text{Н}\) \(F_y = F\sin30^\circ = 75\cdot\frac{1}{2}=37.5\,\text{Н}\) \(2.\) Запишем уравнения по осям: горизонтальная ось \((Ox){:}\) \(F_x-F_{\text{тр}}=0 \Rightarrow F\cos30^\circ = \mu N\) Вертикальная ось \((Oy){:}\) \(N + F_y-mg=0 \Rightarrow N = mg- F\sin30^\circ\) \(3.\) Подставим значения: \(N = 20\cdot10-37.5 = 162.5\,\text{Н}\) \(\mu = \frac{F\cos30^\circ}{N} = \frac{64.95}{162.5}\approx0,4\)

Легковой автомобиль массой \(m_1 = 1\ 000\,\text{кг}\) и грузовик массой \(m_2 = 3\ 000\,\text{кг}\) движутся по дороге. Определите отношение скорости грузовика к скорости легкового автомобиля \(\frac{v_2}{v_1}\), если отношение их импульсов \(\frac{p_2}{p_1} = 1.5\).

Формулы импульсов: — Импульс автомобиля: \(p_1 = m_1 v_1\) — Импульс грузовика: \(p_2 = m_2 v_2\) 2. Условие задачи: \(\frac{p_2}{p_1} = 1.5 \Rightarrow m_2 v_2 = 1.5 m_1 v_1\) 3. Вывод отношения скоростей: \(\frac{v_2}{v_1} = \frac{1.5 m_1}{m_2}\) 4. Подстановка значений масс: \(\frac{v_2}{v_1} = \frac{1.5 \cdot 1\ 000\,\text{кг}}{3\ 000\,\text{кг}} = \frac{1\ 500}{3\ 000} = 0.5\)