Один моль идеального одноатомного газа сначала перевели в изобарическом процессе из состояния с объемом \(V_1=15\ \text{л}\) и давлением \(p_1=10^5\ \text{Па}\) в состояние с объемом \(V_2=30\ \text{л},\) а затем сжали его до начального объема \(V_1\) в процессе, происходящем по закону \(p=kV,\) где \(k\) — некоторый постоянный коэффициент. Какую работу \(A\) совершил газ за весь процесс?

\(1)\) Переведем объемы в \(СИ{:}\) \(V_1=15\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3,\) \(V_2=30\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3.\) \(2)\) На первом, изобарическом участке газ совершил положительную работу \(A_1=p_1(V_2-V_1)\) Подставляя числа, получаем \(A_1=10^5\cdot(30\cdot 10^{-3}-15\cdot 10^{-3})=1\ 500\ \text{Дж}\) \(3)\) Найдем коэффициент пропорциональности \(k.\) В состоянии с объемом \(V_2\) давление равно \(p_1,\) поэтому \(k=\dfrac{p_1}{V_2}=\dfrac{10^5}{30\cdot 10^{-3}}=\dfrac{1}{3}\cdot 10^7\ \text{Па/м}^3\) \(4)\) В конце второго процесса объем стал равен \(V_1,\) следовательно давление там равно \(p_2=kV_1=\dfrac{p_1}{V_2}V_1=p_1\dfrac{V_1}{V_2}=10^5\cdot\dfrac{15}{30}=0{.}5\cdot 10^5=5\cdot 10^4\ \text{Па}\) \(5)\) Во втором процессе давление зависит от объема по линейному закону \(p=kV,\) поэтому работа газа при переходе от \(V_2\) к \(V_1\) равна площади трапеции под графиком \(p(V){:}\) \(A_2=\dfrac{1}{2}(p_1+p_2)(V_1-V_2)\) Так как \(V_1-V_2\) отрицательно, работа будет отрицательной. Подставляя числа: \(A_2=\dfrac{1}{2}(10^5+0{.}5\cdot 10^5)\cdot(15\cdot 10^{-3}-30\cdot 10^{-3})=-1\ 125\ \text{Дж}\) \(6)\) Суммарная работа газа за весь процесс равна \(A=A_1+A_2=1\ 500-1\ 125=375\ \text{Дж}\) Ответ: \(A=375\ \text{Дж}\)

Плоский воздушный вертикальный конденсатор подключен к источнику с постоянным напряжением. Не отключая конденсатор от источника, его погружают в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon = 4,\) при этом диэлектрик заполняет \(\dfrac{1}{3}\) объема конденсатора. Во сколько раз изменилась энергия электрического поля конденсатора после погружения его в жидкий диэлектрик?

\(1)\) Первоначально конденсатор имел емкость \(C_0 = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d},\) где \(S\) — площадь одной пластины, \(d\) — расстояние между пластинами. Энергия конденсатора: \(W_0 = \dfrac{C_0 U^2}{2}\) \(2)\) После погружения части конденсатора в жидкий диэлектрик заполненная часть имеет площадь \(S_1 = \dfrac{1}{3} S,\) а незаполненная \(S_2 = \dfrac{2}{3} S.\) \(3)\) Емкости получившихся частей конденсатора: \(C_1 = \dfrac{\varepsilon \varepsilon_0 S_1}{d} = \dfrac{4 \varepsilon_0 \cdot \dfrac{1}{3} S}{d} = \dfrac{4}{3} C_0\) \(C_2 = \dfrac{\varepsilon_0 S_2}{d} = \dfrac{\varepsilon_0 \cdot \dfrac{2}{3} S}{d} = \dfrac{2}{3} C_0\) \(4)\) Так как части конденсатора соединены параллельно, общая емкость: \(C = C_1 + C_2 = \dfrac{4}{3} C_0 + \dfrac{2}{3} C_0 = 2C_0\) \(5)\) Поскольку конденсатор не отключали от источника, напряжение не изменилось. Энергия после погружения: \(W = \dfrac{C U^2}{2} = \dfrac{2C_0 U^2}{2} = C_0 U^2\) \(6)\) Находим отношение энергий: \(\dfrac{W}{W_0} = \dfrac{C_0 U^2}{\dfrac{C_0 U^2}{2}} = 2\) Ответ: энергия электрического поля конденсатора увеличилась в \(2\) раза.

Пуля массой \(m_1 = 4 \space \text{г},\) летящая горизонтально со скоростью \(V = 125 \space \text{м/с},\) попадает в небольшой шарик массой \(m_2 = 100 \space \text{г},\) подвешенный на жестком невесомом стержне длиной \(l = 0.5 \space \text{м},\) шарниром наверху, и застревает в шарике (см. рис.). Найдите модуль центростремительного ускорения шарика в верхней точке окружности, по которой он двигался после попадания пули. Трения шарика о воздух нет. Какие законы Вы используете для описания взаимодействия и движения тел? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Обоснование: \(1)\) Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. \(2)\) Пуля и шарик имеют малые размеры по сравнению с длиной стержня, поэтому их можно считать материальными точками. \(3)\) При ударе внешние силы в горизонтальном направлении отсутствуют, поэтому применяем закон сохранения импульса. \(4)\) После удара механическая энергия системы сохраняется, так как трение отсутствует и работа силы реакции стержня равна нулю. \(5)\) В верхней точке траектории движение можно считать равномерным по окружности для нахождения центростремительного ускорения. Решение: \(1)\) При неупругом ударе пули и шарика применяем закон сохранения импульса: \(m_1V = (m_1 + m_2)v_1\) \(2)\) Находим скорость системы сразу после удара: \(v_1 = \dfrac{m_1V}{m_1 + m_2}\) \(3)\) Подставим числовые значения \(m_1 = 0.004 \space \text{кг},\) \(m_2 = 0.1 \space \text{кг},\) \(V = 125 \space \text{м/с}{:}\) \(v_1 = \dfrac{0.004 \cdot 125}{0.004 + 0.1} = \dfrac{0.5}{0.104} \approx 4.808 \space \text{м/с}\) \(4)\) Применяем закон сохранения механической энергии для движения от нижней точки до верхней точки траектории: \(\dfrac{(m_1 + m_2)v_1^2}{2} = \dfrac{(m_1 + m_2)v_2^2}{2} + (m_1 + m_2)g \cdot 2l\) \(5)\) Сокращаем массу и выражаем квадрат скорости в верхней точке: \(v_2^2 = v_1^2- 4gl\) \(6)\) Подставим числовые значения \(v_1 \approx 4.808 \space \text{м/с},\) \(g = 10 \space \text{м/с}^2,\) \(l = 0.5 \space \text{м}{:}\) \(v_2^2 = (4.808)^2- 4 \cdot 10 \cdot 0.5 = 23.117- 20 = 3.117 \space \text{м}^2/\text{с}^2\) \(7)\) Находим центростремительное ускорение в верхней точке: \(a = \dfrac{v_2^2}{l} = \dfrac{3.117}{0.5} = 6.234 \space \text{м/с}^2\) Ответ: \(6.23 \space \text{м/с}^2\) модуль центростремительного ускорения шарика в верхней точке окружности.

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью \(20\space м/с.\) Чему равен модуль скорости тела через \(0.5\space с\) после начала отсчета времени? Сопротивление воздуха не учитывать. (Ответ дайте в метрах в секунду).

\(1.\) Используем формулу для скорости при равноускоренном движении: \(v(t) = v_0 + a t\) \(2.\) Учитываем, что ускорение свободного падения направлено против начальной скорости: \(a = -g = -10 \text{ м/с}^2\) \(3.\) Подставляем значения в формулу: \(v(0.5) = 20 \text{ м/с} + (-10 \text{ м/с}^2) \cdot 0.5 \text{ с} = 20-5 = 15 \text{ м/с}\) \(4.\) Находим модуль скорости: \(|v(0.5)| = |15 \text{ м/с}| = 15 \text{ м/с}\)

Брусок массой \(1\space кг\) лежит на горизонтальной шероховатой поверхности. К нему прикладывают силу \(F=4\space Н,\) направленную под углом \(60^\circ\) к горизонту. Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен \(0.6.\) Чему равен модуль силы трения, действующей со стороны поверхности на брусок? Ответ приведите в ньютонах.

Второй закон Ньютона в проекциях. Для покоящегося тела \((a=0){:}\) \(\sum F_x = 0\) \(\sum F_y = 0\) \(1.\) Разложим силу \(F\) на составляющие: \(F_x = F\cos60^\circ = 4\cdot0.5 = 2\,\text{Н}\) \(F_y = F\sin60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 3.46\,\text{Н}\) \(2.\) Применим второй закон Ньютона для вертикальной оси: \(N + F_y-mg = 0 \Rightarrow N = mg-F_y \approx 10-3.46 = 6.54\,\text{Н}\) \(3.\) Проверим возможность движения. Максимальная сила трения покоя: \(F_{\text{тр max}} = \mu N \approx 0.6\cdot6.54 \approx 3.92\,\text{Н}\) Горизонтальная составляющая: \(F_x = 2\,\text{Н} < 3.92\,\text{Н}\) \(4.\) Применим второй закон Ньютона для горизонтальной оси (покой): \(F_x-F_{\text{тр}} = 0 \Rightarrow F_{\text{тр}} = F_x = 2\,\text{Н}\)