На дифракционную решетку, у которой на \(10 \space \text{см}\) приходится \(500\) штрихов, падает белый свет. Расстояние между максимумами третьего порядка от волн красного \((\) \(\lambda_k = 760 \space \text{нм})\) и фиолетового \(( \lambda_{\text{ф}} = 380 \space \text{нм})\) света составляет \(12 \space \text{см}.\) Найдите расстояние от решетки до экрана. \((\)Принять \(\sin \varphi \approx \tg \varphi \approx \varphi).\)

\(1)\) Найдем период дифракционной решетки:\(d = \dfrac{0.1 \space \text{м}}{500} = 2 \cdot 10^{-4} \space \text{м}\) \(2)\) Запишем условие дифракционного максимума:\(d \sin \varphi = m\lambda\) \(3)\) Для малых углов \(\sin \varphi \approx \tg \varphi = \dfrac{b}{L},\) где \(b\) — расстояние от центрального максимума на экране, \(L\) — расстояние от решетки до экрана: \(\dfrac{db}{L} = m\lambda\) \(4)\) Запишем это условие для красного и фиолетового света (\(m = 3{:})\) \(\dfrac{db_k}{L} = 3\lambda_k, \quad \dfrac{db_{\text{ф}}}{L} = 3\lambda_{\text{ф}}\) \(5)\) Вычтем второе уравнение из первого:\(\dfrac{d(b_k- b_{\text{ф}})}{L} = 3(\lambda_k- \lambda_{\text{ф}})\) \(6)\) Выразим расстояние \(L{:}\) \(L = \dfrac{d(b_k- b_{\text{ф}})}{3(\lambda_k- \lambda_{\text{ф}})}\) \(7)\) Подставим числовые значения: \(L = \dfrac{2 \cdot 10^{-4} \cdot 0.12}{3 \cdot (760- 380) \cdot 10^{-9}} = \dfrac{2.4 \cdot 10^{-5}}{3 \cdot 380 \cdot 10^{-9}}\) \(8)\) Вычислим: \(L = \dfrac{2.4 \cdot 10^{-5}}{1\space140 \cdot 10^{-9}} = \dfrac{2.4}{1.14} \cdot 10^{2} \approx 21.05 \space \text{м}\) \(9)\) Округлим до целых: \(L \approx 21 \space \text{м}\) Ответ: \(21 \space \text{м}\) расстояние от решетки до экрана.

Морозильная камера установлена на кухне, где температура равна \(t_1=+20^\circ\text{C},\) и потребляет в течение длительного времени среднюю мощность \(P=89{.}4\ \text{Вт},\) обеспечивая внутреннюю температуру \(t_2=-18^\circ\text{C}.\) Оцените мощность подвода теплоты в камеру из окружающей среды, считая, что морозильник работает по обратному циклу Карно. Ответ выразите в ваттах и округлите до целого числа.

\(1)\) Обозначения и перевод в Кельвины: \(T_1=t_1+273=293\ \text{К},\) \(T_2=t_2+273=255\ \text{К}.\) Мощность подведения работы (электропотребление) равна \(P=89{.}4\ \text{Вт}.\) \(2)\) Для обратного цикла Карно коэффициент полезного действия в режиме холодильника (коэффициент эффективности холодильника) равен \(\varepsilon=\dfrac{Q_{\text{х}}}{A}=\dfrac{T_2}{T_1-T_2}\,\) где \(Q_{\text{х}}\) — мощность отвода теплоты из холодного бака (внутри камеры), \(A\) — мощность, затрачиваемая на работу (в данном случае \(A=P\)). \(3)\) Отсюда мощность подвода (т.е. мощность теплового потока, поступающего в камеру и отводимого холодильником) равна \(Q_{\text{х}}=\varepsilon A=\dfrac{T_2}{T_1-T_2}\,P\,\) \(4)\) Подставим численные значения: \(Q_{\text{х}}=\dfrac{255}{293-255}\cdot 89{.}4=\dfrac{255}{38}\cdot 89{.}4\approx 6{.}7105\cdot 89{.}4\approx 600\ \text{Вт}\,\) Ответ: мощность подвода теплоты в камеру из окружающей среды равна \(600\ \text{Вт}.\)

К изолированному заряженному конденсатору с электроемкостью \(C = 3 \space \text{нФ}\) и зарядом \(q = 15 \space \text{нКл}\) параллельно подключили незаряженный конденсатор электроемкостью \(C.\) Найдите установившееся напряжение на первом конденсаторе.

\(1)\) После соединения двух конденсаторов произойдет перераспределение заряда, причем напряжение на обоих конденсаторах будет одинаковым. \(2)\) По закону сохранения заряда \(q = q_1′ + q_2′,\) где заряды конденсаторов после соединения станут: \(q_1′ = C_1U, \quad q_2′ = C_2U\) где \(U\) — напряжение на каждом конденсаторе. \(3)\) Тогда находим напряжение на каждом конденсаторе: \(U = \dfrac{q}{C_1 + C_2}\) \(4)\) Подставляем значения емкостей \(C_1 = C\) и \(C_2 = C{:}\) \(U = \dfrac{q}{C + C} = \dfrac{q}{2C}\) \(5)\) Вычисляем числовое значение: \(U = \dfrac{15 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot 3 \cdot 10^{-9}} = \dfrac{15}{6} = 2.5 \space \text{В}\) Ответ: \(2.5 \space \text{В}\) установившееся напряжение на первом конденсаторе.

Брусок массой \(m = 0.1 \space \text{кг}\) и груз массой \(M = 0.15 \space \text{кг}\) связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через легкий свободно вращающийся блок, установленный на закрепленной наклонной плоскости (см. рисунок). Плоскость образует с горизонтом угол \(\alpha = 30^\circ.\) Коэффициент трения между бруском \(m\) и наклонной плоскостью равен \(\mu = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.\) Первоначально тела удерживают в состоянии покоя так, что нить не провисает. После того как тела одновременно отпустили без начальной скорости, груз \(M\) начал опускаться вниз. Какова будет скорость бруска \(m\) через \(t = 2 \space \text{с}\) после начала движения? Считайте, что к концу этого промежутка времени брусок \(m\) не коснулся блока, а груз \(M\) не опустился на пол. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на брусок и груз при их движении. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Обоснование: \(1)\) Задачу решаем в инерциальной системе отсчета, связанной с наклонной плоскостью. \(2)\) Брусок и груз считаем материальными точками. \(3)\) Используем второй закон Ньютона, справедливый в \(ИСО.\) Трением в оси блока и о воздух пренебрегаем. \(4)\) Нить нерастяжима, поэтому ускорения тел одинаковы по модулю. \(5)\) Блок и нить невесомы, трения в оси нет, поэтому силы натяжения нити одинаковы по модулю. Решение: \(1)\) Запишем второй закон Ньютона для груза \(M\) в проекции на вертикальную ось, направленную вниз: \(Ma = Mg- T\) \(2)\) Запишем второй закон Ньютона для бруска \(m\) в проекциях: — на ось \(Ox\) вдоль наклонной плоскости вверх: \(ma = T- mg \sin \alpha- F_{тр}\) — на ось \(Oy\) перпендикулярно плоскости: \(0 = N- mg \cos \alpha\) \(3)\) Сила трения скольжения: \(F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha\) \(4)\) Получаем систему уравнений: \(\begin{cases} Ma = Mg- T \ ma = T- mg \sin \alpha- \mu mg \cos \alpha \end{cases}\) \(5)\) Сложим уравнения:\((M + m)a = Mg- mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)\) \(6)\) Выразим ускорение:\(a = \dfrac{M- m(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{M + m}g\) \(7)\) Подставим числовые значения \(\sin 30^\circ = 0.5,\) \(\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\) \(\mu = \dfrac{1}{\sqrt{3}}{:}\) \(\sin \alpha + \mu \cos \alpha = 0.5 + \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0.5 + 0.5 = 1\) \(8)\) Вычислим ускорение: \(a = \dfrac{0.15- 0.1 \cdot 1}{0.15 + 0.1} \cdot 10 = \dfrac{0.05}{0.25} \cdot 10 = 2 \space \text{м/с}^2\) \(9)\) Найдем скорость через \(t = 2 \space \text{с}{:}\) \(v = at = 2 \cdot 2 = 4 \space \text{м/с}\) Ответ: \(4 \space \text{м/с}\) скорость бруска через \(2\) секунды после начала движения.

Тело начинает двигаться из начала координат вдоль оси \(Ox,\) причем проекция скорости \(v_x\) меняется с течением времени по закону, приведенному на графике. Чему будет равна проекция ускорения тела \(a_x\) через \(10\space с?\) (Ответ дайте в метрах на секунду в квадрате).

\(1.\) По графику определяем, что скорость изменяется линейно, значит ускорение постоянно: \(a_x = \text{const}\) \(2.\) Используем формулу для расчета ускорения: \(a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}\) \(3.\) Подставляем значения из графика: \(a_x = \frac{v_x(10 \text{ с})-v_x(0 \text{ с})}{10 \text{ с}-0 \text{ с}} = \frac{5 \text{ м/с}-0 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = 0.5 \text{ м/с}^2\)