Маленький шарик начинает падать на горизонтальную поверхность пола с высоты \(h=2\ \text{м}.\) Из-за дефектов поверхности пола шарик при ударе теряет \(20\%\) своей кинетической энергии и отскакивает от пола под углом \(60^\circ\) к горизонту. На какую максимальную высоту поднимется шарик после удара о пол?

Будем отсчитывать потенциальную энергию от уровня пола. В начальный момент шарик обладает потенциальной энергией \(E=mgh.\) По закону сохранения энергии, к моменту удара вся потенциальная энергия переходит в кинетическую. После удара шарик теряет \(20\%\) кинетической энергии, следовательно, кинетическая энергия сразу после удара равна \(0.8\,mgh.\) \(1)\) Свяжем кинетическую энергию сразу после удара с начальной скоростью шарика \(v_0{:}\) \(\tfrac{1}{2}m v_0^2 = 0.8\,mgh\) Отсюда \(v_0 = \sqrt{1.6\, g h}.\) \(2)\) Вертикальная составляющая скорости сразу после удара равна \(v_{0y}=v_0\sin 60^\circ\) Максимальная высота подъема \(H\) определяется из условия перехода вертикальной кинетической энергии в потенциальную: \(H=\dfrac{v_{0y}^2}{2g}=\dfrac{v_0^2\sin^2 60^\circ}{2g}\) Подставим \(v_0^2=1.6\,g h\) и \(\sin^2 60^\circ=\tfrac{3}{4}{:}\) \(H=\dfrac{1.6\,g h\cdot \tfrac{3}{4}}{2g}=0.6\,h.\) Подставляя \(h=2\ \text{м},\) получаем \(H=0.6\cdot 2\ \text{м}=1.2\ \text{м}\) Ответ: \(1.2\ \text{м}\)

К решетке вплотную поставили линзу, которая собирает лучи в одной точке на экране. Линза расположена между решеткой и экраном. Расстояние от линзы до экрана \(2 \space \text{м}.\) Ширина спектра второго порядка \(8 \space \text{см}.\) Длина волны красного света \(\lambda_k = 8 \cdot 10^{-7} \space \text{м}\) и фиолетового света \(\lambda_{\text{ф}} = 4 \cdot 10^{-7} \space \text{м}.\) Найдите, сколько штрихов приходится на \(1 \space \text{см}\) решетки: \(\sin \varphi \approx \tg \varphi \approx \varphi.\)

\(1)\) Запишем условие дифракционного максимума: \(d \sin \varphi = k\lambda\) \(2)\) Для малых углов \(\sin \varphi \approx \tg \varphi = \dfrac{b}{L},\) где \(b\) — расстояние от центрального максимума на экране, \(L\) — расстояние от линзы до экрана: \(\dfrac{db}{L} = k\lambda\) \(3)\) Запишем это условие для красного и фиолетового света \((k = 2{:})\) \(\dfrac{db_k}{L} = 2\lambda_k, \quad \dfrac{db_{\text{ф}}}{L} = 2\lambda_{\text{ф}}\) \(4)\) Выразим координаты максимумов: \(b_k = \dfrac{2\lambda_k L}{d}, \quad b_{\text{ф}} = \dfrac{2\lambda_{\text{ф}} L}{d}\) \(5)\) Ширина спектра второго порядка: \(\Delta b = b_k- b_{\text{ф}} = \dfrac{2L(\lambda_k- \lambda_{\text{ф}})}{d}\) \(6)\) Выразим период решетки \(d{:}\) \(d = \dfrac{2L(\lambda_k- \lambda_{\text{ф}})}{\Delta b}\) \(7)\) Подставим числовые значения: \(d = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot (8 \cdot 10^{-7}- 4 \cdot 10^{-7})}{8 \cdot 10^{-2}} = \dfrac{4 \cdot 4 \cdot 10^{-7}}{8 \cdot 10^{-2}}\) \(8)\) Вычислим: \(d = \dfrac{16 \cdot 10^{-7}}{8 \cdot 10^{-2}} = 2 \cdot 10^{-5} \space \text{м} = 2 \cdot 10^{-3} \space \text{см}\) \(9)\) Найдем количество штрихов на \(1 \space \text{см}{:}\) \(N = \dfrac{1 \space \text{см}}{d} = \dfrac{1}{2 \cdot 10^{-3}} = 500\) Ответ: \(500\) штрихов приходится на \(1 \space \text{см}\) решетки.

Некоторое количество идеального газа находится в объеме \(V_1=30\ \text{л}\) под давлением \(p_1=2{.}5\cdot 10^4\ \text{Па}\) при температуре \(T_1=100\ \text{К}.\) Какое количество теплоты \(Q\) надо подвести к газу для его нагревания до температуры \(T_2=300\ \text{К}\) в процессе, при котором молярная теплоемкость этого газа зависит от температуры по закону \(C_m=aT,\) где \(a=0{.}25\ Дж/(моль·К^2)?\)

\(1)\) Объем переведем в \(СИ{:}\) \(V_1=30\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3.\) \(2)\) По уравнению состояния Менделеева — Клапейрона количество вещества равно \(\displaystyle \nu=\dfrac{p_1V_1}{R T_1}\) Подставим числа и вычислим \(\nu{:}\) \(\displaystyle \nu=\dfrac{2{.}5\cdot 10^4\cdot 30\cdot 10^{-3}}{8{.}31\cdot 100}\approx 0{.}902\ \text{моль}\) \(3)\) Так как молярная теплоемкость растет по закону \(C_m=aT,\) средняя молярная теплоемкость на интервале от \(T_1\) до \(T_2\) равна \(\displaystyle C_{\text{cp}}=\dfrac{C_m(T_1)+C_m(T_2)}{2}=\dfrac{a(T_1+T_2)}{2}\) Подставляя числовые значения, получаем \(\displaystyle C_{\text{cp}}=\dfrac{0{.}25\,(100+300)}{2}=50\ Дж/(моль·К)\) \(4)\) Количество теплоты, требуемое для нагрева при постоянном количестве вещества, равно \(\displaystyle Q=\nu\,C_{\text{cp}}\,(T_2-T_1)\) Подставим все величины: \(\displaystyle Q\approx 0{.}902\cdot 50\cdot(300-100)=0{.}902\cdot 50\cdot 200\approx 9\ 023\ \text{Дж}\) Итог: требуемое количество теплоты примерно \(Q\approx 9\ 023\ \text{Дж}.\)

Электрический чайник состоит из трех одинаковых нагревательных спиралей. Если все три спирали соединить параллельно, то вода в чайнике закипит через \(3\) минуты. Через какое время закипит та же масса воды, если спирали соединить как показано на рисунке? Напряжение источника, а также начальная температура воды в обоих случаях одинаковы. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

\(1)\) Количество теплоты, необходимое для нагревания воды, одинаково в обоих случаях: \(Q = P_1 \tau_1 = P_2 \tau_2\) \(2)\) При параллельном соединении трех одинаковых спиралей сопротивление каждой равно \(R,\) общее сопротивление:\(R_{общ1} = \dfrac{R}{3}\) \(3)\) Мощность при параллельном соединении:\(P_1 = \dfrac{U^2}{R_{общ1}} = \dfrac{U^2}{\dfrac{R}{3}} = \dfrac{3U^2}{R}\) \(4)\) Количество теплоты в первом случае:\(Q = P_1 \tau_1 = \dfrac{3U^2}{R} \cdot 3 = \dfrac{9U^2}{R}\) \(5)\) При соединении по схеме (две параллельно + одна последовательно): \(R_{паралл} = \dfrac{R}{2}, \quad R_{общ2} = R + \dfrac{R}{2} = \dfrac{3R}{2}\) \(6)\) Мощность во втором случае: \(P_2 = \dfrac{U^2}{R_{общ2}} = \dfrac{U^2}{\dfrac{3R}{2}} = \dfrac{2U^2}{3R}\) \(7)\) Количество теплоты во втором случае: \(Q = P_2 \tau_2 = \dfrac{2U^2}{3R} \cdot \tau_2\) \(8)\) Приравниваем количества теплоты: \(\dfrac{9U^2}{R} = \dfrac{2U^2}{3R} \cdot \tau_2\) \(9)\) Сокращаем одинаковые величины и находим время: \(9 = \dfrac{2}{3} \tau_2, \quad \tau_2 = \dfrac{9 \cdot 3}{2} = 13.5 \space \text{мин}\) Ответ: \(13.5 \space \text{мин}\) время закипания воды при втором способе соединения спиралей.

Материальные точки массами \(m_1 = 200 \space \text{г}\) и \(m_2 = 300 \space \text{г}\) прикреплены к невесомому стержню, как показано на рисунке. К точке \(m_2\) прикреплена невесомая пружина жесткостью \(k = 50 \space \text{Н/м},\) верхний конец которой закреплен. Длина пружины в недеформированном состоянии \(l_0 = 20 \space \text{см}.\) В начальный момент концы пружины связаны нитью длиной \(l = 10 \space \text{см}.\) Определите силу реакции стержня, действующую на груз массой \(m_1\) сразу после пережигания нити.

Обоснование: \(1)\) Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. \(2)\) Тела считаем материальными точками, так как их размеры малы. \(3)\) Применяем второй закон Ньютона для материальных точек в \(ИСО.\) \(4)\) Для пружины используем закон Гука, так как деформации упругие. Решение: \(1)\) Найдем силу упругости пружины сразу после пережигания нити. По закону Гука: \(F_{\text{упр}} = k(l_0- l)\) \(2)\) Подставим числовые значения: \(F_{\text{упр}} = 50 \cdot (0.2- 0.1) = 50 \cdot 0.1 = 5 \space \text{Н}\) \(3)\) Рассмотрим систему обоих тел как единое целое. По второму закону Ньютона: \((m_1 + m_2)a = (m_1 + m_2)g + F_{\text{упр}}\) \(4)\) В проекции на вертикальную ось (направленную вниз): \((m_1 + m_2)a = (m_1 + m_2)g + F_{\text{упр}}\) \(5)\) Выразим ускорение системы: \(a = g + \dfrac{F_{\text{упр}}}{m_1 + m_2}\) \(6)\) Теперь рассмотрим нижнее тело массой \(m_1.\) На него действуют: — сила тяжести \(m_1g\) (вниз); — сила реакции стержня \(T\) (вниз). \(7)\) Запишем второй закон Ньютона для тела \(m_1{:}\) \(m_1a = m_1g + T\) \(8)\) Выразим силу реакции стержня: \(T = m_1a- m_1g = m_1(a- g)\) \(9)\) Подставим выражение для ускорения из пункта \(5){:}\) \(T = m_1\left(g + \dfrac{F_{\text{упр}}}{m_1 + m_2}- g\right) = \dfrac{m_1 F_{\text{упр}}}{m_1 + m_2}\) \(10)\) Подставим числовые значения \(m_1 = 0.2 \space \text{кг},\) \(m_2 = 0.3 \space \text{кг},\) \(F_{\text{упр}} = 5 \space \text{Н}{:}\) \(T = \dfrac{0.2 \cdot 5}{0.2 + 0.3} = \dfrac{1}{0.5} = 2 \space \text{Н}\) Ответ: \(2 \space \text{Н}\) сила реакции стержня, действующая на груз массой \(m_1.\)