Тело массой \(200\ г\) совершает гармонические колебания вдоль оси \(Ox,\) при этом его координата изменяется во времени в соответствии с законом \(x(t) = 0.03 \cdot \cos(10t).\) Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимость от времени. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ \(А)\) проекция импульса тела \(p_x(t)\) \(Б)\) потенциальная энергия пружины \(E_n(t)\) ФОРМУЛЫ \(1)\) \(0.6 \sin^2(10t)\) \(2)\) \(9 \cdot 10^{-3} \cos^2(10t)\) \(3)\) \(-0.06 \sin(10t)\) \(4)\) \(0.09 \cos(20t)\) \(А\) | \(Б\)

Анализ уравнения движения. Уравнение координаты тела: \(x(t) = 0.03 \cdot \cos(10t)\)Это уравнение гармонических колебаний с амплитудой \(A = 0.03\ м\) и циклической частотой \(\omega = 10\ рад/с.\) Определение проекции скорости \(v_x(t).\) Скорость — это производная координаты по времени: \(v_x(t) = \frac{dx}{dt} = -0.03 \cdot 10 \cdot \sin(10t) = -0.3 \sin(10t)\) Определение проекции импульса \(p_x(t).\) Импульс тела: \(p_x(t) = m v_x(t) = 0.2 \cdot (-0.3 \sin(10t)) = -0.06 \sin(10t)\)Это соответствует формуле \(-0.06 \sin(10t).\) Определение потенциальной энергии пружины \(E_n(t).\) Циклическая частота связана с жесткостью пружины \(k\): \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \implies k = m \omega^2 = 0.2 \cdot 10^2 = 20 \text{ Н/м}\) Потенциальная энергия пружины: \(E_n(t) = \frac{k x^2(t)}{2} = \frac{20 \cdot (0.03 \cos(10t))^2}{2} = 10 \cdot 0.0009 \cos^2(10t) = 9 \cdot 10^{-3} \cos^2(10t)\)Это соответствует формуле \(9 \cdot 10^{-3} \cos^2(10t).\)

\(1\) моль идеального газа нагревают изохорно (при постоянном объеме) так, что его давление увеличивается в \(3\) раза, а температура возрастает на \(100\ К.\) Определите начальную абсолютную температуру газа. Ответ запишите в кельвинах.

Уравнение состояния для начального состояния: \(p_1V = \nu RT_1\) где \(\nu = 1\,\text{моль}\) 2. Уравнение состояния для конечного состояния: \(3p_1V = \nu R(T_1 + 100)\) 3. Деление уравнений: \(\frac{3p_1V}{p_1V} = \frac{T_1 + 100}{T_1}\) 4. Упрощение и решение: \(3 = 1 + \frac{100}{T_1}\) \(\frac{100}{T_1} = 2\) \(T_1 = 50\,\text{К}\)

Тепловая машина с \(КПД\) \(40\%\) за цикл работы отдает холодильнику \(60\,\text{Дж}.\) Какое количество теплоты за цикл машина получает от нагревателя? Ответ дайте в джоулях.

\(1.\) Используем формулу \(КПД\) тепловой машины: \(\eta = 1 -\frac{Q_{хол}}{Q_{нагр}}\) \(2.\) Подставляем известные значения (\(\eta = 0.4\), \(Q_{хол} = 60\,\text{Дж}){:}\) \(0.4 = 1- \frac{60}{Q_{нагр}}\) \(3.\) Решаем уравнение: \(\frac{60}{Q_{нагр}} = 0.6\) \(Q_{нагр} = \frac{60}{0.6} = 100\,\text{Дж}\)

Железный брусок массой \(m_1=260 \, \text{г} ,\) температура которого \(t_1=20^\circ \text{C} ,\) приводят в контакт со свинцовым бруском массой \(m_2=920 \, \text{г}\), температура которого \(t_2=80^\circ \text{C} .\) Через некоторое время бруски приходят в состояние термодинамического равновесия. Потери теплоты отсутствуют. Тепловое расширение брусков пренебрежимо мало. Выберите все верные утверждения. \(1)\) В процессе установления между брусками термодинамического равновесия не совершается работа. \(2)\) В исходном состоянии запас внутренней энергии свинцового бруска больше запаса внутренней энергии железного бруска. \(3)\) В исходном состоянии запас внутренней энергии свинцового бруска меньше запаса внутренней энергии железного бруска. \(4)\) В состоянии термодинамического равновесия температура брусков равна \(50^\circ \text{C} .\) \(5)\) В состоянии термодинамического равновесия температура брусков равна \(60^\circ \text{C} .\)

Переведем массы в \(кг{:}\) \(m_1=0.26 \, \text{кг} ,\) \(m_2=0.92 \, \text{кг} .\) Удельные теплоемкости: \(c_{\text{ж}}=460 \, Дж/(кг·°C)\) (железо), \(c_{\text{с}}=130 \, Дж/(кг·°C)\) (свинец). \(1)\) Верно. Теплообмен происходит без совершения работы, так как расширением можно пренебречь. \(2)\) Верно. Внутренняя энергия \(U=cmt .\) Сравним: \(U_1=c_{\text{ж}} m_1 t_1=460 \cdot 0.26 \cdot 20=2\ 392 \, \text{Дж}\) \(U_2=c_{\text{с}} m_2 t_2=130 \cdot 0.92 \cdot 80=9\ 568 \, \text{Дж}\) Так как \(U_2>U_1 ,\) утверждение верно. \(3)\) Неверно, см. пункт \(2 .\) \(4)\) Верно. Условие теплового баланса: \(c_{\text{ж}} m_1 (t-t_1)+c_{\text{с}} m_2 (t-t_2)=0\) Подставим значения: \(460 \cdot 0.26 (t-20)+130 \cdot 0.92 (t-80)=0\) \(119.6 (t-20)+119.6 (t-80)=0\) \(2t-100=0\) \(t=50^\circ \text{C}\) \(5)\) Неверно, см. пункт \(4 .\)

Один моль одноатомного идеального газа участвует в процессе \(1-2-3,\) график которого изображен на \(VT\)-диаграмме (объем-температура). Определите, как изменяются: \(1.\) Плотность газа в процессе \(1-2\) \(2.\) Давление газа в процессе \(2-3\) Для каждой величины укажите характер изменения: \(1)\) Увеличивается \(2)\) Уменьшается \(3)\) Не изменяется Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться. Плотность в процессе 1-2 | Давление в процессе 2-3

Анализ процесса \(1-2.\) На \(VT\)-диаграмме горизонтальная линия \((T=const)\) соответствует изотермическому процессу. По условию объем уменьшается (V↓ при T=const). Плотность газа: \(\rho = \frac{m}{V}\) \(→\) при уменьшении \(V\) плотность увеличивается. Вывод: Плотность газа увеличивается. Ответ: \(1.\) Анализ процесса \(2-3.\) Прямая линия, проходящая через начало координат \((V∝T),\) соответствует изобарному процессу. Для изобарного процесса: \(\frac{V}{T} = const = \frac{\nu R}{p}\) \(→ p=const.\) Вывод: Давление газа не изменяется. Ответ: \(3.\)