Между двумя точечными заряженными телами сила электрического взаимодействия равна \(12\,\text{мН}.\) Если заряд одного тела увеличить в \(3\) раза, а заряд другого тела уменьшить в \(4\) раза и расстояние между телами уменьшить в \(2\) раза, то какова будет сила взаимодействия между телами? Ответ дайте в \(мН.\)

\(1.\) По закону Кулона: \(F = k \cdot \dfrac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\) \(2.\) Новые параметры: \(q_1′ = 3q_1, \quad q_2′ = \dfrac{q_2}{4}, \quad r’ = \dfrac{r}{2}\) \(3.\) Новая сила: \(F’ = k \cdot \dfrac{q_1′ \cdot q_2′}{(r’)^2} = k \cdot \dfrac{3q_1 \cdot \dfrac{q_2}{4}}{\left(\dfrac{r}{2}\right)^2} = 3k \cdot \dfrac{q_1 q_2}{r^2} = 3F\) \(4.\) Вычисление: \(F’ = 3 \cdot 12\,\text{мН} = 36\,\text{мН}\)

Два прямолинейных проводника помещены в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции \(\vec{B}.\) Длина первого проводника \(L_1 = L\), второго \(L_2 = 0.5L.\) По проводникам протекают токи \(I_1 = I\) и \(I_2 = 2I\) соответственно. Чему равно отношение \(\dfrac{F_2}{F_1}\) модулей сил Ампера, действующих на проводники?

Сила Ампера вычисляется по формуле: \(F_A = B \cdot I \cdot L \cdot \sin\alpha\) где \(\alpha = 90^\circ\) (перпендикулярное расположение), следовательно \(\sin\alpha = 1.\) \(1.\) Вычислим силы для каждого проводника: \(F_1 = B \cdot I \cdot L\) \(F_2 = B \cdot 2I \cdot 0.5L\) \(2.\) Найдем отношение сил: \(\frac{F_2}{F_1} = \frac{B \cdot 2I \cdot 0.5L}{B \cdot I \cdot L} = \frac{2 \cdot 0.5}{1} = 1\)

В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. В таблице показано, как изменялся заряд на одной обкладке конденсатора в колебательном контуре с течением времени. Индуктивность катушки равна \(L = 1\) \(\text{мГн}.\) Чему равна емкость конденсатора? (Ответ дайте в нанофарадах с точностью до десятых).

\(1.\) Определяем период колебаний по таблице: \(T = 8 \cdot 10^{-6} \text{ с}\) \(2.\) Используем формулу периода колебательного контура: \(T = 2\pi\sqrt{LC}\) \(3.\) Выражаем емкость и подставляем значения: \(C = \frac{T^2}{4\pi^2 L} = \frac{(8 \cdot 10^{-6})^2}{4\pi^2 \cdot 10^{-3}} \approx 1.6 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 1.6 \text{ нФ}\)

По \(П\)-образному проводнику, находящемуся в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости проводника, скользит проводящая перемычка (см. рис.). На графике приведена зависимость площади контура от времени. Модуль индукции магнитного поля равен \(B = 0.4\ \text{Тл},\) длина проводника \(l = 0.1\ \text{м}.\) Пренебрегая сопротивлением проводника, выберите все верные утверждения о результатах этого опыта. \(1)\) В момент времени \(1\ \text{с}\) сила Ампера, действующая на перемычку, направлена вправо. \(2)\) В интервале времени от \(2\ \text{с}\) до \(4\ \text{с}\) по перемычке ток не течет. \(3)\) Наибольший ток по перемычке протекает в интервале времени от \(4\ \text{с}\) до \(5\ \text{с}.\) \(4)\) На всех участках к перемычке не прикладывается сила, поскольку рельсы гладкие. \(5)\) В интервале времени от \(4\ \text{с}\) до \(5\ \text{с}\) модуль \(ЭДС\) индукции минимален.

\(1)\) Неверно. В момент времени \(1\ \text{с}\) площадь контура увеличивается, значит, перемычка движется вправо. Магнитный поток через контур \(\Phi = BS\) растет. По правилу Ленца индукционный ток направлен так, чтобы своим магнитным полем компенсировать это увеличение. Следовательно, ток в перемычке направлен вниз (по правилу правой руки для контура). На движущийся в магнитном поле проводник с током действует сила Ампера. Применяем правило левой руки: магнитное поле перпендикулярно плоскости чертежа от нас (по условию), ток в перемычке направлен вниз, значит, сила Ампера действует на перемычку влево, а не вправо. \(2)\) Верно. На графике в интервале от \(2\ \text{с}\) до \(4\ \text{с}\) площадь контура постоянна. Это означает, что перемычка покоится. Магнитный поток через контур не меняется, поэтому \(ЭДС\) индукции равна нулю, и индукционный ток в контуре отсутствует. \(3)\) Верно. Индукционный ток определяется скоростью изменения магнитного потока, то есть производной \(\mathcal{E}_i = — \dfrac{d\Phi}{dt} = -B \dfrac{dS}{dt}.\) Модуль \(ЭДС\) индукции \(\mathcal{E}_i = B \left|\dfrac{dS}{dt}\right|\) На графике \(\dfrac{dS}{dt}\) — это угловой коэффициент наклона графика \(S(t).\) Наибольший по модулю наклон наблюдается на участке от \(4\ \text{с}\) до \(5\ \text{с}\) (крутой спад). Следовательно, в этот интервал времени \(ЭДС\) индукции, а значит и ток (поскольку сопротивлением пренебрегаем), максимальны. \(4)\) Неверно. При движении перемычки в ней возникает индукционный ток, и на нее действует сила Ампера. Согласно правилу Ленца, эта сила всегда направлена против скорости движения (тормозящая сила). Чтобы перемычка двигалась с постоянной скоростью (как на участках, где \(S(t)\) линейна), к ней необходимо прикладывать внешнюю силу, уравновешивающую силу Ампера. Утверждение, что сила не прикладывается, неверно. \(5)\) Неверно. Как было показано в пункте \(3),\) модуль \(ЭДС\) индукции \(\mathcal{E}_i = B \left|\dfrac{dS}{dt}\right|\) На интервале от \(4\ \text{с}\) до \(5\ \text{с}\) модуль скорости изменения площади \(\left|\dfrac{dS}{dt}\right|\) максимален, следовательно, модуль \(ЭДС\) индукции в этот интервал максимален, а не минимален.