В зимний вечер ученик решил поставить опыт: полностью заполнил две тонкие пластиковые бутылки горячей водой (почти кипятком), потом из одной бутылки вылил немного воды, сразу же обе плотно закрыл крышками и выставил бутылки на мороз на всю ночь. В результате одна бутылка лопнула, а другая сплющилась. Объясните, какая бутылка лопнула и почему, опираясь на известные физические законы и закономерности.

\(1)\) Обозначения. Пусть бутылка \(A\) — та, из которой была вылита часть воды (в ней остался газовый зазор), а бутылка \(B\) — та, что осталась практически полностью заполненной водой (зазора почти нет). \(2)\) Поведение бутылки \(A.\) В момент закупоривания в зазоре была смесь воздуха и насыщенных паров воды при высокой температуре. При остывании часть водяного пара конденсируется, поэтому число молей газообразного вещества в замкнутом объеме уменьшается. По уравнению состояния идеального газа \(pV=nRT\) при уменьшении \(n\) при фиксированных \(V\) и \(T\) давление \(p\) снижается. Падение внутреннего давления приводит к тому, что внешнее атмосферное давление сжимает тонкую бутылку, и она сплющивается. \(3)\) Поведение бутылки \(B.\) Бутылка \(B\) была практически полностью заполнена водой и запечатана без свободного объема. При дальнейшем остывании вода сначала охлаждается до \(0\, \degree C,\) а затем при переходе в твердое состояние (кристализация) ее объем увеличивается приблизительно на \(9\%,\) то есть можно записать \(V_{\text{лед}}\approx 1.09\,V_{\text{вода}}.\) В замкнутом почти неизменном объеме такое увеличение объема вызывает резкий рост давления внутри. Тонкая пластиковая стенка не выдерживает этого избыточного давления и разрывается, то есть бутылка лопается. \(4)\) Итог. Бутылка, из которой предварительно была вылита часть воды (с зазором), сплющилась из за конденсации пара и падения внутреннего давления. Бутылка, оставшаяся полностью заполненной водой, лопнула из за увеличения объема при замерзании и вызванного этим роста давления. Ответ: лопнула бутылка, полностью заполненная водой; сплющилась бутылка с газовым зазором.

Книга лежит на столе. Масса книги \(m=0.6\ \text{кг}.\) Площадь ее соприкосновения со столом \(S=0.08\ \text{м}^2.\) Чему равно давление книги на стол?

Книга покоится, поэтому нормальная сила опоры \(N\) уравновешивает силу тяжести и равна \(mg.\) Давление определяется как отношение нормальной силы к площади контакта, то есть \(p=\dfrac{N}{S}=\dfrac{mg}{S}.\) Подставим численные значения и для удобства возьмем \(g=10\ \text{м/с}^2{:}\) \(p=\dfrac{0.6\cdot 10}{0.08}=75\ \text{Па}\) Ответ: \(p=75\ \text{Па}.\)

К потолку комнаты высотой \(4 \space \text{м}\) прикреплено светящееся панно-лампа в виде круга диаметром \(2 \space \text{м}.\) На высоте \(2 \space \text{м}\) от пола параллельно ему расположен круглый непрозрачный диск диаметром \(2 \space \text{м}.\) Центр панно и центр диска лежат на одной вертикали. Какова площадь получени на полу? Ответ округлите до целых.

\(1)\) Рассмотрим геометрическую схему образования тени и получени. Обозначим: \(H = 4 \space \text{м}\) — высота комнаты, \(h = 2 \space \text{м}\) — высота диска, \(d = 2 \space \text{м}\) — диаметр диска и панно. \(2)\) Из подобия треугольников \(ABC\) и \(CEF\) получаем соотношение: \(\dfrac{CF}{EF} = \dfrac{AB}{CB}\) \(3)\) Найдем соответствующие отрезки из рисунка: \(CF = d,\) \(EF = H- h,\) \(AB = \dfrac{D- d}{2},\) \(CB = h\) \(4)\) Подставим значения в соотношение: \(\dfrac{d}{H- h} = \dfrac{D- d}{2h}\) \(5)\) Выразим диаметр \(D\) светлого пятна на полу: \(D = d + \dfrac{2hd}{H- h} = \dfrac{d(H + h)}{H- h}\) \(6)\) Подставим числовые значения: \(D = \dfrac{2 \cdot (4 + 2)}{4- 2} = \dfrac{2 \cdot 6}{2} = 6 \space \text{м}\) \(7)\) Площадь получени равна разности площади всего светлого пятна и площади тени: \(S = \dfrac{\pi D^2}{4}- \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{\pi (D^2- d^2)}{4}\) \(8)\) Подставим числовые значения: \(S = \dfrac{3.14 \cdot (36- 4)}{4} = \dfrac{3.14 \cdot 32}{4} = 25.12 \space \text{м}^2\) \(9)\) Округлим до целых: \(S \approx 25 \space \text{м}^2\) Ответ: \(25 \space \text{м}^2\) площадь получени на полу.

В некотором процессе \(1\)–\(2,\) который проводился с одним молем идеального одноатомного газа, среднеквадратичная скорость молекул газа возросла от \(u_1=350\ \text{м/с}\) до \(u_2=380\ \text{м/с}.\) При этом давление \(p\) газа в процессе оставалось постоянным, и газ совершил работу \(A=292\ \text{Дж}.\) Чему равна молярная масса \(\mu\) этого газа?

\(1)\) В молекулярно-кинетической теории для идеального газа среднеквадратичная скорость связана с температурой формулой \(u=\sqrt{\dfrac{3RT}{\mu}}\,\) Отсюда \(T=\dfrac{\mu u^2}{3R}\,\) \(2)\) При изобарическом процессе (для \(1\) моля газа) работа равна \(A=p(V_2-V_1)=R(T_2-T_1)\,\) \(3)\) Подставим выражения температур через среднеквадратичные скорости: \(A=R\Big(\dfrac{\mu u_2^2}{3R}-\dfrac{\mu u_1^2}{3R}\Big)=\dfrac{\mu}{3}\,(u_2^2-u_1^2)\,\) \(4)\) Отсюда молярная масса газа выражается как \(\mu=\dfrac{3A}{u_2^2-u_1^2}\,\) \(5)\) Вычислим численно. Имеем \(u_1^2=350^2=122\ 500,\) \(u_2^2=380^2=144\ 400,\) поэтому \(u_2^2-u_1^2=21\ 900.\) Тогда \(\mu=\dfrac{3\cdot 292}{21\ 900}=\dfrac{876}{21\ 900}\approx 0{.}040\ \text{кг/моль}\,\) \(6)\) Перевод в граммы на моль: \(0{.}040\ \text{кг/моль}=40\ \text{г/моль}.\) Ответ: \(\mu\approx 0{.}040\ \text{кг/моль}=40\ \text{г/моль}.\)

Плоский воздушный конденсатор и резистор сопротивлением \(R = 8 \space \text{Ом}\) соединены параллельно и подключены к аккумулятору. \(ЭДС\) аккумулятора равна \(\mathcal{E} = 5 \space \text{B},\) его внутреннее сопротивление \(r = 2 \space \text{Ом}.\) Чему равен модуль напряженности электрического поля в конденсаторе, если расстояние между его пластинами равно \(d = 5 \space \text{мм}?\)

\(1)\) Так как резистор и конденсатор соединены параллельно, то напряжения на них одинаковы \(U_C = U_R.\) \(2)\) По закону Ома для участка цепи напряжение на резисторе: \(U_R = IR\) где \(I\) — сила тока через резистор. \(3)\) Ток через конденсатор не течет, поэтому по закону Ома для полной цепи: \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{R + r}\) \(4)\) Напряжение на конденсаторе связано с напряженностью \(E\) электрического поля внутри него: \(U_C = Ed\) \(5)\) Объединяя полученные выражения, получим: \(Ed = \dfrac{\mathcal{E}R}{R + r}\) \(6)\) Отсюда находим напряженность электрического поля: \(E = \dfrac{\mathcal{E}R}{d(R + r)}\) \(7)\) Подставляем числовые значения: \(E = \dfrac{5 \cdot 8}{5 \cdot 10^{-3} \cdot (8 + 2)} = \dfrac{40}{5 \cdot 10^{-3} \cdot 10} = \dfrac{40}{0.05} = 800 \space \text{В/м}\) Ответ: \(800 \space \text{В/м}\) модуль напряженности электрического поля в конденсаторе.