Лыжник массой \(m=60\ \text{кг}\) спустился с горы высотой \(h=20\ \text{м}.\) Какой была сила сопротивления его движению по горизонтальной лыжне после спуска, если он остановился, проехав \(s=200\ \text{м} ?\) Считать, что по склону горы он скользил без трения. Ответ привести в ньютонах.

Поскольку по склону трения нет, потенциальная энергия, потерянная лыжником при спуске, превратилась в кинетическую энергию внизу склона. При дальнейшем движении по горизонтали вся эта энергия была затрачена на работу силы сопротивления до остановки. Поэтому записываем баланс энергии в форме равенства потенциальной энергии и работы силы трения: \(m g h = F_{\text{тр}}\,s\) Отсюда выражаем искомую силу трения: \(F_{\text{тр}}=\dfrac{m g h}{s}\) Подставим численные значения и возьмем \(g=10\ \text{м/с}^2{:}\) \(F_{\text{тр}}=\dfrac{60\cdot 10\cdot 20}{200}= \dfrac{12\,000}{200}=60\ \text{Н}.\) Ответ: \(F_{\text{тр}}=60\ \text{Н}.\)

Тень на экране от предмета, освещенного точечным источником света, имеет линейные размеры в \(4\) раза больше, чем сам предмет. Расстояние от источника света до предмета равно \(60 \space \text{см}.\) Определите расстояние от предмета до экрана.

\(1)\) Обозначим: \(h\) — размер предмета, \(H\) — размер тени, \(s_1 = 60 \space \text{см}\) — расстояние от источника до предмета, \(s_2\) — искомое расстояние от предмета до экрана. \(2)\) Из подобия треугольников на рисунке получаем соотношение: \(\dfrac{H}{h} = \dfrac{s_1 + s_2}{s_1}\) \(3)\) По условию \(H = 4h.\) Подставим это в соотношение: \(\dfrac{4h}{h} = \dfrac{s_1 + s_2}{s_1}\) \(4)\) Упростим выражение: \(4 = \dfrac{s_1 + s_2}{s_1}\) \(5)\) Выразим расстояние \(s_2{:}\) \(s_2 = 4s_1- s_1 = 3s_1\) \(6)\) Подставим числовое значение \(s_1 = 60 \space \text{см}{:}\) \(s_2 = 3 \cdot 60 = 180 \space \text{см} = 1.8 \space \text{м}\) Ответ: \(1.8 \space \text{м}\) расстояние от предмета до экрана.

Идеальный тепловой двигатель \(1,\) работающий по циклу Карно, имеет температуру нагревателя \(T_{h1}=800^\circ\text{C}\) и холодильника \(T_{x1}=0^\circ\text{C}\) и потребляет за цикл количество теплоты \(Q^+.\) Система из двух других идеальных тепловых двигателей \(2\) и \(3\) действует следующим образом. Двигатель \(2\) с той же температурой нагревателя \(T_{h2}=T_{h1}\) и тем же потреблением теплоты за цикл \(Q^+,\) что и двигатель \(1,\) имеет температуру холодильника \(T_{x2}=60^\circ\text{C}=T_{h3}\); этот холодильник является нагревателем для двигателя \(3,\) отдавая ему всю теплоту, полученную от двигателя \(2.\) Холодильник двигателя \(3\) имеет ту же температуру, что и у двигателя \(1{:}\) \(T_{x3}=T_{x1}.\) Найдите, во сколько раз работа \(A_1,\) производимая двигателем \(1\) за цикл, отличается от суммарной работы \(A_2+A_3\) двигателей \(2\) и \(3.\)

\(1)\) Переведем температуры в Кельвины: \(T_{h1}=800^\circ\text{C}=1\ 073\ \text{К},\) \(T_{x1}=0^\circ\text{C}=273\ \text{К},\) \(T_{x2}=60^\circ\text{C}=333\ \text{К}\) \(2)\) \(КПД\) цикла Карно равен \(\eta=1-\dfrac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{наг}}} .\) Для двигателя \(1\) имеем \(\eta_1=1-\dfrac{T_{x1}}{T_{h1}}\) и поэтому \(A_1=\eta_1 Q^+=(1-\dfrac{T_{x1}}{T_{h1}})\,Q^+\) \(3)\) Для двигателя \(2,\) так как \(T_{h2}=T_{h1}\) и холодильник \(T_{x2},\) \(\eta_2=1-\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}},\qquad A_2=\eta_2 Q^+=(1-\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}})\,Q^+\) \(4)\) Теплота, отброшенная двигателем \(2\) за цикл, равна \(Q_2^-=Q^+-A_2=(1-\eta_2)\,Q^+=\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}}\,Q^+\) По условию эта величина поступает в качестве подведенной теплоты для двигателя \(3,\) то есть \(Q_3^+=Q_2^-\) \(5)\) КПД двигателя \(3\) равен \(\eta_3=1-\dfrac{T_{x3}}{T_{h3}}=1-\dfrac{T_{x1}}{T_{x2}}\) и работа двигателя \(3\) за цикл \(A_3=\eta_3 Q_3^+=\Big(1-\dfrac{T_{x1}}{T_{x2}}\Big)\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}}\,Q^+=\Big(\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}}-\dfrac{T_{x1}}{T_{h1}}\Big)\,Q^+\) \(6)\) Сумма работ двигателей \(2\) и \(3\) равна \(A_2+A_3=\Big(1-\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}}\Big)Q^++\Big(\dfrac{T_{x2}}{T_{h1}}-\dfrac{T_{x1}}{T_{h1}}\Big)Q^+=\Big(1-\dfrac{T_{x1}}{T_{h1}}\Big)Q^+=A_1\) Следовательно \(A_1=A_2+A_3,\) то есть отношение равно \(1\) Ответ: \(1\)

В электрической цепи, схема которой изображена на рисунке, ключ \(K\) сначала был разомкнут, а затем его замкнули. На сколько после этого изменилась тепловая мощность \(P,\) выделяющаяся в резисторе сопротивлением \(R_1 = 10 \space \text{Ом},\) если \(ЭДС\) батарейки равна \(\mathcal{E} = 12 \space \text{В},\) ее внутреннее сопротивление \(r = 2 \space \text{Ом},\) а сопротивление резистора \(R_2 = 15 \space \text{Ом}.\) Ответ дайте с учетом знака.

\(1)\) До замыкания ключа K в левой части цепи по закону Ома для полной цепи течет ток: \(I_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{r + R_1} = \dfrac{12}{2 + 10} = 1 \space \text{A}\) \(2)\) В резисторе \(R_1\) выделяется тепловая мощность: \(P_1 = I_1^2 R_1 = 1^2 \cdot 10 = 10 \space \text{Вт}\) \(3)\) После замыкания ключа ток течет через оба резистора \(R_1\) и \(R_2,\) соединенные параллельно. Общее сопротивление внешней цепи: \(R_0 = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{10 \cdot 15}{10 + 15} = 6 \space \text{Ом}\) \(4)\) Сила тока по закону Ома для полной цепи: \(I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{r + R_0} = \dfrac{12}{2 + 6} = 1.5 \space \text{A}\) \(5)\) Напряжение на параллельных резисторах: \(U_2 = I_2 R_0 = 1.5 \cdot 6 = 9 \space \text{В}\) \(6)\) В резисторе \(R_1\) выделяется мощность: \(P_2 = \dfrac{U_2^2}{R_1} = \dfrac{9^2}{10} = 8.1 \space \text{Вт}\) \(7)\) Изменение мощности после замыкания ключа: \(\Delta P = P_2-P_1 = 8.1-10 = -1.9 \space \text{Вт}\) Ответ: \(\Delta P = -1.9 \space \text{Вт},\) то есть тепловая мощность уменьшилась на \(1.9 \space \text{Вт}.\)

Шарик падает из состояния покоя и на высоте \(h = 1 \space \text{м}\) от поверхности Земли абсолютно упруго ударяется о доску, расположенную под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту (см. рисунок). Модуль скорости шарика после отскока от доски равен модулю скорости шарика непосредственно перед ударом. После удара шарик поднялся на максимальную высоту \(h_1 = 1.25 \space \text{м}\) от поверхности Земли. Определите с какой высоты \(H\) над поверхностью Земли упал шарик, если после удара его скорость направлена под углом \(2\alpha\) к вертикали. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Обоснование: \(1)\) Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной. \(2)\) Шарик движется поступательно, поэтому его можно принять за материальную точку. \(3)\) Силой сопротивления воздуха пренебрегаем, поэтому шарик движется только под действием силы тяжести. \(4)\) До столкновения с доской можно использовать закон сохранения механической энергии. \(5)\) Удар абсолютно упругий, модуль скорости шарика не изменяется. \(6)\) После отскока движение шарика происходит с ускорением свободного падения \(g.\) Решение: \(1)\) Рассмотрим движение шарика до удара о доску. По закону сохранения энергии: \(mgH = mgh + \dfrac{mv^2}{2}\) где \(v\) — скорость шарика в момент удара. \(2)\) Выразим высоту \(H{:}\) \(H = h + \dfrac{v^2}{2g}\) (1) \(3)\) После удара скорость шарика направлена под углом \(2\alpha = 60^\circ\) к вертикали, значит под углом \(\beta = 90^\circ- 2\alpha = 30^\circ\) к горизонту. \(4)\) Вертикальная составляющая скорости после удара: \(v_y = v \cos 2\alpha = v \cos 60^\circ = v \cdot 0.5\) \(5)\) Максимальная высота подъема после удара над точкой отскока: \(h_1- h = \dfrac{v_y^2}{2g} = \dfrac{(0.5v)^2}{2g} = \dfrac{v^2}{8g}\)(2) \(6)\) Выразим \(v^2\) из уравнения \((2){:}\) \(v^2 = 8g(h_1- h)\) \(7)\) Подставим в уравнение \((1){:}\) \(H = h + \dfrac{8g(h_1- h)}{2g} = h + 4(h_1- h)\) \(8)\) Подставим числовые значения: \(H = 1 + 4(1.25- 1) = 1 + 4 \cdot 0.25 = 1 + 1 = 2 \space \text{м}\) Ответ: \(2 \space \text{м}\) высота, с которой упал шарик.