Линза с фокусным расстоянием \(F = 0.3 \space \text{м}\) дает на экране изображение предмета, увеличенное в \(3\) раза. Каково расстояние от линзы до изображения? Ответ приведите в метрах.

\(1)\) Увеличение линзы определяется формулой: \(\Gamma = \dfrac{f}{d}\) где \(f\) — расстояние от линзы до изображения, \(d\) — расстояние от линзы до предмета. \(2)\) По условию увеличение равно \(3{:}\) \(\dfrac{f}{d} = 3 \Rightarrow d = \dfrac{f}{3}\) \(3)\) Используем формулу тонкой линзы: \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}\) \(4)\) Подставляем выражение для \(d{:}\) \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{\dfrac{f}{3}} + \dfrac{1}{f} = \dfrac{3}{f} + \dfrac{1}{f} = \dfrac{4}{f}\) \(5)\) Выражаем расстояние до изображения: \(f = 4F = 4 \cdot 0.3 = 1.2 \space \text{м}\) Ответ: \(1.2 \space \text{м}\) расстояние от линзы до изображения.

Гелий в количестве \(\nu=\dfrac{1}{20}\ \text{моль}\) находится в горизонтальном закрепленном цилиндре с поршнем, который может без трения перемещаться в цилиндре и вначале удерживается в равновесии силой \(F_1=280\ \text{Н}.\) При этом среднеквадратичная скорость движения атомов гелия составляет \(u_1=1400\ \text{м/с}.\) Затем гелий стали охлаждать, а поршень медленно сдвигать, постепенно уменьшая действующую на него силу. Когда эта сила равнялась \(F_2=150\ \text{Н},\) среднеквадратичная скорость движения атомов гелия стала равной \(u_2=1200\ \text{м/с}.\) На какое расстояние \(\Delta l\) при этом сдвинулся поршень? Внешним давлением пренебречь.

\(1)\) Обозначим начальный объем гелия в цилиндре через \(V_1=S\,l_1,\) а давление через \(p_1=\dfrac{F_1}{S},\) где площадь поршня равна \(S,\) а длина столба газа равна \(l_1.\) Тогда, согласно уравнению Клапейрона—Менделеева, \(p_1V_1=F_1 l_1=\nu R T_1\) \(2)\) Среднеквадратичная скорость атомов одноатомного газа связана с температурой формулой \(u=\sqrt{\dfrac{3RT}{\mu}},\) где \(\mu\) — молярная масса гелия. Отсюда \(T=\dfrac{\mu u^2}{3R}\) Подставляя это в предыдущее равенство, получаем для начальной длины столба газа \(l_1=\dfrac{\nu R T_1}{F_1}=\dfrac{\nu\mu u_1^2}{3F_1}\) аналогично для конечного состояния \(l_2=\dfrac{\nu\mu u_2^2}{3F_2}\) \(3)\) Искомое смещение поршня равно разности длин: \(\Delta l=l_2-l_1=\dfrac{\nu\mu}{3}\left(\dfrac{u_2^2}{F_2}-\dfrac{u_1^2}{F_1}\right)\) \(4)\) Подставим численные значения. Молярная масса гелия \(\mu=4\ \text{г/моль}=0{.}004\ \text{кг/моль},\) \(\nu=\dfrac{1}{20}=0{.}05\ \text{моль}.\) Тогда множитель \(\dfrac{\nu\mu}{3}=\dfrac{0{.}05\cdot 0{.}004}{3}=6{.}666\cdot 10^{-5}\ \text{кг/моль}\) Вычислим дроби: \(\dfrac{u_2^2}{F_2}=\dfrac{1\ 200^2}{150}=\dfrac{1\ 440\ 000}{150}=9\ 600\) \(\dfrac{u_1^2}{F_1}=\dfrac{1\ 400^2}{280}=\dfrac{1\ 960\ 000}{280}=7\ 000\) Разность равна \(9\ 600-7\ 000=2\ 600.\) Тогда \(\Delta l=6{.}666\cdot 10^{-5}\cdot 2\ 600\ \text{м}\approx 0{.}1733\ \text{м}\) \(5)\) Переведем в сантиметры: \(0{.}1733\ \text{м}\approx 17{.}3\ \text{см}.\) Округляя по условию, получаем примерно \(17\ \text{см}.\) Ответ: \(\Delta l\approx 17\ \text{см}.\)

В закрытом сосуде постоянного объема находился воздух при нормальных условиях. Его нагрели электрическим нагревателем, сила тока в котором \(I = 2 \space \text{А}\) при напряжении \(U = 100 \space \text{В}.\) \(КПД\) нагревателя равен \(13\%.\) Через \(t = 10 \space \text{мин},\) давление в сосуде повысилось до \(p_2 = 4 \cdot 10^5 \space \text{Па}.\) Чему равен объем сосуда? В данном процессе удельная теплоемкость воздуха \(c = 716 \space \text {Дж/(кгК)},\) а его плотность при нормальных условий \(\rho = 1.29 \space \text{кг/м}^3.\) Потерями тепла в окружающую среду пренебречь.

\(1)\) Нормальные условия: \(p_1 = 10^5 \space \text{Па},\) \(T_1 = 273 \space \text{К}\) \(2)\) Для изохорного процесса: \(\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{T_2}{T_1}\) \(3)\) Находим конечную температуру: \(T_2 = \dfrac{p_2 T_1}{p_1} = \dfrac{4 \cdot 10^5 \cdot 273}{10^5} = 1\space092 \space \text{К}\) \(4)\) Изменение температуры: \(\Delta T = T_2 -T_1 = 1092 -273 = 819 \space \text{К}\) \(5)\) Масса воздуха в сосуде: \(m = \rho V\) \(6)\) Количество теплоты, полученное воздухом: \(Q = c m \Delta T = c \rho V \Delta T\) \(7)\) Работа электрического тока: \(A = U I t = 100 \cdot 2 \cdot 600 = 120\space000 \space \text{Дж}\) \(8)\) КПД нагревателя: \(\eta = \dfrac{Q}{A} = 0.13\) \(9)\) Подставляем выражения: \(0.13 = \dfrac{c \rho V \Delta T}{U I t}\) \(10)\) Выражаем объем сосуда: \(V = \dfrac{\eta U I t}{c \rho \Delta T}\) \(11)\) Подставляем числовые значения: \(V = \dfrac{0.13 \cdot 100 \cdot 2 \cdot 600}{716 \cdot 1.29 \cdot 819}\) \(12)\) Вычисляем по действиям: — Числитель: \(0.13 \cdot 100 \cdot 2 \cdot 600 = 0.13 \cdot 120\space000 = 15\space600.\) — Знаменатель: \(716 \cdot 1.29 = 923.64,\) затем \(923.64 \cdot 819 = 756\space000\) (примерно). — \(V = \dfrac{15\space600}{756\space000} \approx 0.0206 \space \text{м}^3.\) Ответ: \(0.0206 \space \text{м}^3\) объем сосуда.

В гладкий высокий стакан радиусом \(4 \space \text{см}\) поставили однородную тонкую палочку длиной \(10 \space \text{см}\) и массой \(0.9 \space \text{г},\) после чего в стакан налили до высоты \(4 \space \text{см}\) жидкость, плотность которой составляет \(0.75\) плотности материала палочки. Найдите модуль силы \(F,\) с которой верхний конец палочки давит на стенку стакана. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на палочку.

Обоснование: \(1)\) Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. \(2)\) Палочку считаем абсолютно твердым телом. \(3)\) Условия равновесия твердого тела: — Сумма внешних сил равна нулю — Сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю \(4)\) Стенки стакана гладкие, поэтому сила реакции перпендикулярна стенке. Решение: \(1)\) Обозначим: \(R = 0.04 \space \text{м}\) — радиус стакана; \(l = 0.1 \space \text{м}\) — длина палочки; \(m = 0.0009 \space \text{кг}\) — масса палочки; \(h = 0.04 \space \text{м}\) — высота жидкости; \(\rho_{\text{ж}} = 0.75\rho\) — плотность жидкости. \(2)\) Найдем высоту \(H\) верхнего конца палочки над дном: \(H = \sqrt{l^2- (2R)^2} = \sqrt{0.1^2- (0.08)^2} = \sqrt{0.01- 0.0064} = \sqrt{0.0036} = 0.06 \space \text{м}\) \(3)\) На палочку действуют силы: — сила тяжести \(mg\) (приложена к центру палочки); — сила Архимеда \(F_A\) (приложена к центру погруженной части); — сила реакции \(N\) со стороны стенки (горизонтальная); — сила реакции дна (вертикальная). \(4)\) Сила Архимеда: \(F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}} = 0.75\rho g \cdot \dfrac{h}{H}V = 0.75mg\dfrac{h}{H}\) \(5)\) Запишем правило моментов относительно нижнего конца палочки \((\)точка \(A):\) \(mg \cdot R- F_A \cdot \dfrac{h}{2} \cdot \cot\alpha- N \cdot H = 0\) \(6)\) Найдем \(\cot\alpha\) из геометрии: \(\cot\alpha = \dfrac{2R}{H} = \dfrac{0.08}{0.06} = \dfrac{4}{3}\) \(7)\) Подставим все выражения: \(mgR- 0.75mg\dfrac{h}{H} \cdot \dfrac{h}{2} \cdot \dfrac{2R}{H}- NH = 0\) \(8)\) Упростим: \(mgR- 0.75mgR\left(\dfrac{h}{H}\right)^2- NH = 0\) \(9)\) Выразим силу реакции \(N{:}\) \(N = \dfrac{mgR}{H} \left[1- 0.75\left(\dfrac{h}{H}\right)^2\right]\) \(10)\) Подставим числовые значения: \(N = \dfrac{0.0009 \cdot 10 \cdot 0.04}{0.06} \left[1- 0.75\left(\dfrac{0.04}{0.06}\right)^2\right]\) \(N = \dfrac{0.00036}{0.06} \left[1- 0.75 \cdot \left(\dfrac{4}{6}\right)^2\right] = 0.006 \cdot \left[1- 0.75 \cdot \dfrac{16}{36}\right]\) \(N = 0.006 \cdot \left[1- 0.75 \cdot \dfrac{4}{9}\right] = 0.006 \cdot \left[1- \dfrac{3}{9}\right] = 0.006 \cdot \dfrac{2}{3} = 0.004 \space \text{Н}\) \(11)\) По третьему закону Ньютона: \(F = N = 0.004 \space \text{Н} = 4 \space \text{мН}\) Ответ: \(4 \space \text{мН}\) модуль силы, с которой верхний конец палочки давит на стенку стакана.

При равноускоренном движении автомобиля на пути \(25\space м\) его скорость увеличилась от \(5\) до \(10\space м/с.\) Чему равно ускорение автомобиля? (Ответ дайте в метрах в секунду в квадрате).

\(1.\) Используем формулу равноускоренного движения без времени: \(S = \frac{v^2-v_0^2}{2a}\) \(2.\) Выражаем ускорение из формулы: \(a = \frac{v^2-v_0^2}{2S}\) \(3.\) Подставляем известные значения: \(v = 10 \text{ м/с}, \quad v_0 = 5 \text{ м/с}, \quad S = 25 \text{ м}\) \(4.\) Вычисляем ускорение: \(a = \frac{(10 \text{ м/с})^2- (5 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 25 \text{ м}} = \frac{100-25}{50} = 1.5 \text{ м/с}^2\)