В гладком вертикальном цилиндре под подвижным поршнем массой \(M=25\ \text{кг}\) и площадью \(S=500\ \text{см}^2\) находится идеальный одноатомный газ при температуре \(T=300\ \text{К}.\) Поршень в равновесии располагается на высоте \(h=50\ \text{см}\) над дном цилиндра. После сообщения газу некоторого количества теплоты поршень приподнялся, а газ нагрелся. Найдите удельную теплоемкость \(c\) газа в данном процессе. Давление в окружающей цилиндр среде равно \(p_0=10^4\ \text{Па},\) масса газа в цилиндре \(m=0.6\ \text{г}.\)

\(1)\) Переведем все данные в СИ: \(S=500\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2=0.05\ \text{м}^2,\) \(h=50\ \text{см}=0.5\ \text{м},\) \(m=0.6\ \text{г}=0.0006\ \text{кг},\) \(T=300\ \text{К},\) \(p_0=10^4\ \text{Па},\) \(M=25\ \text{кг},\) примем \(g=10\ \text{м/с}^2.\) \(2)\) Так как поршень гладкий и может перемещаться, давление в газе в процессе подвода теплоты остается равным сумме внешнего давления и давления от веса поршня: \(p=p_0+\dfrac{M g}{S},\) где запятая включена внутрь формулы для соблюдения оформления. \(3)\) Объем газа в начальном состоянии равен \(V=S h.\) При изобарном процессе (давление \(p\) постоянно) изменение внутренней энергии для одноатомного идеального газа равно \(\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T,\) а работа газа равна \(A=p\Delta V=\nu R\Delta T.\) Следовательно количество теплоты, подведенной к газу, \(Q=\Delta U + A=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T+\nu R\Delta T=\dfrac{5}{2}\nu R\Delta T\) где \(\nu\) — число молей газа. \(4)\) Число молей выражается через давление, объем и температуру: \(\nu=\dfrac{pV}{R T}.\) Подставляя в выражение для \(Q\) и деля на массу \(m\) и на \(\Delta T,\) получаем удельную теплоемкость процесса: \(c=\dfrac{Q}{m\Delta T}=\dfrac{5}{2}\dfrac{\nu R}{m}=\dfrac{5}{2}\dfrac{pV}{mT}=\dfrac{5}{2}\dfrac{p S h}{mT}.\) \(5)\) Подставим численные значения. Сначала вычислим \(p{:}\) \(p=p_0+\dfrac{M g}{S}=10^4+\dfrac{25\cdot 10}{0.05}=10^4+5\cdot 10^3=1.5\cdot 10^4\ \text{Па}.\) Далее \(p S h=1.5\cdot 10^4\cdot 0.05\cdot 0.5=375\ (Па·м ^3\text{)}.\) Теперь \(c=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{375}{0.0006\cdot 300}=\dfrac{937.5}{0.18}\approx 5{.}208\cdot 10^3\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}.\) \(6)\) Приведем результат в удобной форме: \(c\approx 5{.}2\cdot 10^3\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}=5{.}2\ \text{кДж}/(\text{кг}\cdot\text{К}).\) Ответ: \(c\approx 5{.}2\ \text{кДж}/(\text{кг}\cdot\text{К}).\)

Участок электрической цепи подключен к источнику постоянного напряжения \(U,\) как показано на рисунке. Определите отношение мощности \(W_1,\) выделяемой на этом участке цепи, к мощности \(W_2,\) выделяемой на этом же участке цепи после переключения полярности подаваемого напряжения. Диод считать идеальным, т. е. при прямом включении его сопротивление равно нулю, при обратном – бесконечно большим.

\(1)\) Первый случай (диод закрыт): ток не идет через резистор \(2R,\) так как диод включен в обратном направлении. \(2)\) Эквивалентная схема: последовательное соединение резисторов \(3R,\) \(4R\) и \(R\): \(R_{общ1} = 3R + 4R + R = 8R\) \(3)\) Мощность в первом случае: \(W_1 = \dfrac{U^2}{R_{общ1}} = \dfrac{U^2}{8R}\) \(4)\) Второй случай (диод открыт): при изменении полярности диод проводит ток. \(5)\) Резисторы \(4R\) и \(R\) соединены последовательно: \(R_{4R+R} = 4R + R = 5R\) \(6)\) Этот участок соединен параллельно с резистором \(2R\): \(R_{паралл} = \dfrac{2R \cdot 5R}{2R + 5R} = \dfrac{10R^2}{7R} = \dfrac{10}{7}R\) \(7)\) К параллельному участку последовательно подключен резистор \(3R\): \(R_{общ2} = 3R + \dfrac{10}{7}R = \dfrac{21R + 10R}{7} = \dfrac{31}{7}R\) \(8)\) Мощность во втором случае: \(W_2 = \dfrac{U^2}{R_{общ2}} = \dfrac{U^2}{\dfrac{31}{7}R} = \dfrac{7U^2}{31R}\) \(9)\) Находим отношение мощностей: \(\dfrac{W_1}{W_2} = \dfrac{\dfrac{U^2}{8R}}{\dfrac{7U^2}{31R}} = \dfrac{31}{7 \cdot 8} = \dfrac{31}{56} \approx 0.55\) Ответ: \(0.55\) отношение мощности \(W_1\) к мощности \(W_2.\)

Неоднородная массивная балка длиной \(L = 2 \space \text{м}\) подвешена на двух одинаковых тросах за свои крайние точки \(A\) и \(B.\) Если на расстоянии \(d = 50 \space \text{см}\) от точки \(A\) подвесить к балке на легкой веревке груз массой \(m = 60 \space \text{кг}\) (см. рисунок), то ось балки будет горизонтальна, а силы натяжения тросов одинаковыми. Определите расстояние от точки \(A\) до центра тяжести балки. Масса балки равна \(M = 100 \space \text{кг}.\) Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость законов, использованных для решения задачи.

Обоснование: \(1)\) Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. \(2)\) Груз считаем материальной точкой. \(3)\) Балку считаем абсолютно твердым телом. \(4)\) Веревка легкая, поэтому сила натяжения одинакова вдоль всей длины. \(5)\) Балка находится в равновесии, поэтому: — сумма моментов сил равна нулю; — сумма сил, действующих на балку, равна нулю. Решение: \(1)\) Обозначим: — \(T\) — сила натяжения каждого троса (по условию одинаковы); — \(T_1\) — сила натяжения веревки, на которой подвешен груз; — \(x\) — искомое расстояние от точки \(A\) до центра тяжести балки. \(2)\) Запишем условие равновесия балки: Сумма сил по вертикали: \(2T = Mg + T_1\) \(3)\) Запишем правило моментов относительно точки \(A{:}\) \(T_1 \cdot d + Mg \cdot x = T \cdot L\) \(4)\) Для груза массой \(m{:}\) \(T_1 = mg\) \(5)\) Подставим \(T_1 = mg\) в уравнения: Из уравнения сил: \(2T = Mg + mg \Rightarrow T = \dfrac{(M + m)g}{2}\) Из уравнения моментов: \(mg \cdot d + Mg \cdot x = T \cdot L = \dfrac{(M + m)g}{2} \cdot L\) \(6)\) Сократим \(g{:}\) \(md + Mx = \dfrac{(M + m)L}{2}\) \(7)\) Выразим \(x{:}\) \(Mx = \dfrac{(M + m)L}{2}- md\) \(x = \dfrac{(M + m)L- 2md}{2M}\) \(8)\) Подставим числовые значения: \(x = \dfrac{(100 + 60) \cdot 2- 2 \cdot 60 \cdot 0.5}{2 \cdot 100} = \dfrac{160 \cdot 2- 60}{200} = \dfrac{320- 60}{200} = \dfrac{260}{200} = 1.3 \space \text{м}\) Ответ: \(1.3 \space \text{м}\) расстояние от точки \(A\) до центра тяжести балки.

Мальчик съезжает на санках равноускоренно со снежной горки. Скорость санок в конце спуска \(10\space м/с.\) Ускорение равно \(1\space м/с^2,\) начальная скорость равна нулю. Какова длина горки? (Ответ дайте в метрах).

\(1.\) Используем формулу равноускоренного движения без времени:\(S = \frac{v^2- v_0^2}{2a}\) \(2.\) Подставляем известные значения:\(v = 10 \text{ м/с}, \quad v_0 = 0 \text{ м/с}, \quad a = 1 \text{ м/с}^2\) \(3.\) Вычисляем длину горки:\(S = \frac{(10 \text{ м/с})^2-0}{2 \cdot 1 \text{ м/с}^2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ м}\)

На рисунке представлен график зависимости модуля силы упругости пружины от величины ее деформации. Определите жесткость пружины. Ответ дайте в ньютонах на метр.

\(1.\) По закону Гука: \(k = \frac{F}{\Delta x}\) \(2.\) Из графика берем: Сила \(F = 100\space Н.\) Деформация \(\Delta x = 0.4\space м.\) \(3.\) Вычисляем жесткость: \(k = \frac{100}{0.4} = 250\,\text{Н/м}\)