С помощью ученической линейки измерили толщину пачки из \(500\) листов бумаги. Толщина пачки оказалась \((50 \pm 1)\space\text{мм}.\) Требуется определить толщину одного листа бумаги с учетом погрешности. В ответе запишите значение и погрешность слитно без пробела.

\(1.\) Вычисляем толщину одного листа: \(d = \frac{50\space\text{мм}}{500} = 0.1\space\text{мм}\) \(2.\) Определяем погрешность толщины одного листа: \(\Delta d = \frac{1\space\text{мм}}{500} = 0.002\space\text{мм}\)

Учитель поручил школьнику проверить, зависит ли период колебаний пружинного маятника от жесткости пружины, на которой подвешен груз. Ученик взял из шкафа в школьном кабинете физики набор грузов разной массы и набор пружин. Длины пружин были разными, они были изготовлены из различных материалов, но все имели одинаковый диаметр. Все грузы были изготовлены из стали. Какие две установки нужно использовать школьнику для проведения исследования? На рисунках пружины показаны в недеформированном состоянии. В ответе запишите номера выбранных маятников.

\(1)\) Для проверки зависимости периода колебаний от жесткости пружины необходимо использовать одинаковые грузы (одинаковой массы) и пружины из разных материалов. \(2)\) Сравниваем установки: \(3)\) Грузы в установках \(1\) и \(2\) одинаковы (оба стальные), а пружины изготовлены из разных материалов, следовательно, имеют разную жесткость. Эти две установки подходят для исследования зависимости периода колебаний от жесткости пружины.

В вертикальном цилиндрическом сосуде под поршнем находится воздух, водяной пар и капли воды на стенках сосуда. Поршень начинают медленно поднимать, увеличивая объем сосуда. В середине процесса подъема поршня капли воды в сосуде исчезают, температура пара остается неизменной в течение всего процесса подъема поршня. Затем сосуд с паром нагревают при неизменном положении поршня. Как будет меняться при этих процессах относительная влажность воздуха в сосуде? Ответ поясните, указав, какие физические явления и закономерности вы использовали для объяснения.

\(1)\) Определение относительной влажности. Относительная влажность воздуха \(\varphi\) по определению равна отношению парциального давления водяного пара \(p\) к давлению насыщенных паров при той же температуре \(p_{\text{нас}}(T),\) то есть \(\varphi=\dfrac{p}{p_{\text{нас}}(T)}\) Если в сосуде присутствует жидкая вода и пар находится в насыщенном состоянии, то \(p=p_{\text{нас}}(T)\) и поэтому \(\varphi=1.\) \(2)\) Первый этап — медленное поднятие поршня при постоянной температуре (изотермическое расширение). Пока в сосуде есть капли воды, при фиксированной температуре пар остается насыщенным, его парциальное давление равно \(p_{\text{нас}}(T),\) следовательно \(\varphi=1.\) Когда в середине процесса капли воды исчезают (вся жидкость испарилась), дальше при дальнейшем увеличении объема при той же температуре масса водяного пара остается постоянной, и пар расширяется изотермически. Для идеального газа при постоянной температуре выполняется \(pV=\text{const},\) поэтому при росте \(V\) парциальное давление \(p\) уменьшается пропорционально \(1/V.\) Поскольку давление насыщенных паров \(p_{\text{нас}}(T)\) при неизменной \(T\) остается постоянным, отношение \(\varphi=\dfrac{p}{p_{\text{нас}}(T)}\)уменьшается. Итого: в первой фазе \(\varphi\) сначала равно \(100\%,\) а после выгорания/исчезновения капель при дальнейшем изотермическом увеличении объема \(\varphi\) падает. \(3)\) Второй этап — нагрев сосуда при неподвижном поршне (изохорный нагрев). После окончания подъема поршня объем фиксирован и, как сказано, в сосуде остался только пар (жидкости нет). При изохорном нагреве для данной массы пара из уравнения состояния идеального газа \(pV=nRT\) следует, что парциальное давление \(p\) возрастает пропорционально абсолютной температуре \(T\) (\(p\propto T\) при фиксированных \(n\) и \(V\)). Одновременно давление насыщенных паров \(p_{\text{нас}}(T)\) при повышении \(T\) увеличивается обычно значительно быстрее (по закону Клапейрона–Клаузиуса экспоненциально). Поэтому отношение \(\varphi=\dfrac{p}{p_{\text{нас}}(T)}\)при нагреве при фиксированном объеме, как правило, уменьшается (часто заметно), то есть относительная влажность падает дальше. Ответ: при медленном подъеме поршня относительная влажность сначала равна \(100\%\) (пока есть жидкость), а после исчезновения капель при дальнейшем изотермическом расширении объема \(\varphi\) уменьшается; при последующем изохорном нагреве (поршень на месте, жидкой воды нет) парциальное давление растет лишь пропорционально \(T,\) тогда как \(p_{\text{нас}}(T)\) растет быстрее, поэтому относительная влажность уменьшается еще сильнее.

Камень массой \(m=40\ \text{г}=0.04\ \text{кг}\) брошен под углом \(60^\circ\) к горизонту. Начальная кинетическая энергия камня равна \(E_k=2\ \text{Дж}.\) Чему равен модуль импульса камня в верхней точке траектории его движения? Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

\(1)\) Найдем начальную скорость \(v_0\) по связи с кинетической энергией: \(\dfrac{1}{2} m v_0^2 = E_k,\) откуда \(v_0 = \sqrt{\dfrac{2E_k}{m}}.\) Подставим числа: \(v_0 = \sqrt{\dfrac{2\cdot 2}{0.04}} = \sqrt{100} = 10\ \text{м/с}.\) \(2)\) В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю, поэтому скорость камня там равна горизонтальной проекции начальной скорости: \(v_x = v_0\cos 60^\circ.\) Таким образом \(v_x = 10\cdot\cos 60^\circ = 10\cdot 0.5 = 5\ \text{м/с}.\) \(3)\) Модуль импульса в верхней точке равен \(p = m v_x.\) Следовательно \(p = 0.04\cdot 5 = 0.2\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.\) Ответ: \(0.2\ \text{кг}\cdot\text{м/с}\)

Линза с фокусным расстоянием \(F = 0.1 \space \text{м}\) дает на экране изображение предмета, увеличенное в \(6\) раз. Каково расстояние от линзы до изображения? Ответ приведите в метрах.

\(1)\) Увеличение линзы определяется формулой: \(\Gamma = \dfrac{f}{d}\) где \(f\) — расстояние от линзы до изображения, \(d\) — расстояние от линзы до предмета. \(2)\) По условию увеличение равно \(6{:}\) \(\dfrac{f}{d} = 6 \Rightarrow d = \dfrac{f}{6}\) \(3)\) Используем формулу тонкой линзы:\(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}\) \(4)\) Подставляем выражение для \(d{:}\) \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{\dfrac{f}{6}} + \dfrac{1}{f} = \dfrac{6}{f} + \dfrac{1}{f} = \dfrac{7}{f}\) \(5)\) Выражаем расстояние до изображения: \(f = 7F = 7 \cdot 0.1 = 0.7 \space \text{м}\) Ответ: \(0.7 \space \text{м}\) расстояние от линзы до изображения.