Учитель поручил школьнику проверить, зависит ли период колебаний пружинного маятника от массы груза, подвешенного к пружине. Ученик взял из шкафа в школьном кабинете физики набор грузов разной массы и набор пружин. Длины пружин были разными, они были изготовлены из различных материалов, но все имели одинаковый диаметр. Все грузы были изготовлены из стали. Какие две установки нужно использовать школьнику для проведения исследования? На рисунках пружины показаны в недеформированном состоянии. В ответе запишите номера выбранных маятников.

\(1)\) Для проверки зависимости периода колебаний от массы груза необходимо использовать одинаковые пружины (с одинаковой жесткостью) и грузы разной массы. \(2)\) Сравниваем установки: \(3)\) Пружины в установках \(1\) и \(3\) одинаковы (обе стальные), а массы грузов различны. Следовательно, эти две установки подходят для исследования зависимости периода колебаний от массы груза.

Китайские фонарики, представляющие собой легкие бумажные мешки с отверстием вниз, в котором на проволочном каркасе крепится кусок пористого материала, пропитанного горючим. После его поджигания фонарик поднимается в небо на большую высоту, а потом может приземлиться вдали от точки старта. В городе, в лесу и при сильном ветре запускать фонарики опасно! Опишите, опираясь на известные физические законы и закономерности, процессы, происходящие в течение всех фаз полета такого фонарика. В чем причина опасности, о которой говорилось выше

\(1)\) При горении топлива выделяется тепловая энергия, продукты горения нагреваются и заполняют объем внутри фонарика. Горение поддерживает высокий локальный \(T_{\text{гор}}\) в объеме фонарика, поэтому газ там теплее, чем окружающий воздух при температуре \(T_{\text{окр}}.\) \(2)\) При постоянном внешнем давлении \(p\) плотность газа обратно пропорциональна температуре согласно уравнению Менделеева — Клапейрона \(\rho=\dfrac{\mu p}{RT}\) где \(\mu\) — молярная масса газовой смеси, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — абсолютная температура. При \(T_{\text{гор}}>T_{\text{окр}}\) плотность внутри фонарика меньше плотности окружающего воздуха, поэтому действует выталкивающая сила Архимеда. \(3)\) Сила Архимеда равна модулю веса вытесненного воздуха: \(F_{A}=\rho_{\text{возд}}\,g\,V\) где \(\rho_{\text{возд}}\) — плотность окружающего воздуха, \(V\) — объем вытесненного воздуха (приблизительно объем фонарика), \(g\) — ускорение свободного падения. Подъем происходит, если сила Архимеда превышает суммарный вес системы (корпус фонарика, подвесной груз и масса находящегося внутри горячего газа): \(F_{A}>(m_{\text{корп}}+m_{\text{газа}})\,g\) \(4)\) Подъем продолжается, пока горючее горит и газ внутри остается достаточно теплым. При этом фонарик может подниматься на большую высоту и переноситься ветром. Наличие ветра может перенести фонарик далеко от места запуска; из-за ветра фонарик движется вместе с потоком воздуха и может зацепиться за крыши, деревья, вышки, линии электропередач и т.д. \(5)\) После выгорания топлива или при значительном теплообмене с окружающей средой внутренний газ охлаждается: температура внутри \(T\) падает, плотность \(\rho\) внутри возрастает (по формуле выше), выталкивающая сила падает и фонарик начинает снижаться. Понижение подъемной силы предсказать трудно, поэтому место падения непредсказуемо. \(6)\) Дополнительная опасность: если при снижении фонарика горение еще не прекратилось, то при посадке на легковоспламеняющиеся материалы (сухая трава, крыша, балкон, дерево) еще тлеющий горючий материал может вызвать возгорание. Также тонкая бумажная оболочка фонарика легко может загореться сама и стать источником огня при контакте с посторонними предметами. \(7)\) Технические аспекты теплообмена. Скорость остывания и, следовательно, снижение подъемной силы определяется теплообменом фонарика с окружающей средой (конвекция, радиация). Чем быстрее отводится тепло, тем быстрее падает подъемная сила и тем более непредсказуемо завершается полет. Ответ: основная причина опасности — сочетание поднимающей силы, обеспечиваемой теплыми продуктами горения (по закону Архимеда и уравнению состояния идеального газа), и ветровой транспортировки фонарика на большие расстояния. Непредсказуемое место падения и возможность сохранения тлеющего источника огня при приземлении создают риск возгораний построек, деревьев и т.п.

Период колебаний математического маятника на поверхности Земли в \(1.2\) раза больше периода его колебаний на некоторой планете. Чему равен модуль ускорения свободного падения на этой планете? Влияние атмосферы пренебрежимо мало.

\(1)\) Период математического маятника задается формулой \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\) откуда при заданной длине нити \(L\) ускорение свободного падения выражается как \(g=\dfrac{(2\pi)^2 L}{T^2}\) \(2)\) Обозначим \(T_Z\) — период на Земле, \(T_p\) — период на планете. По условию \(T_Z=1.2\,T_p.\) Отношение ускорений на планете и на Земле равно отношению обратных квадратов периодов, поэтому \(\dfrac{g_p}{g_Z}=\dfrac{T_Z^2}{T_p^2}=(1.2)^2=1.44\) \(3)\) Примем для земного ускорения приближенное значение \(g_Z=10\ \text{м/с}^2.\) Тогда \(g_p=1.44\cdot 10\ \text{м/с}^2=14.4\ \text{м/с}^2\) Ответ: \(g_p=14.4\ \text{м/с}^2\)

Карандаш высотой \(H = 9 \space \text{см}\) расположен перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии \(d = 50 \space \text{см}\) от линзы. Оптическая сила линзы \(D = 5 \space \text{дптр}\). Чему равна высота изображения карандаша? Ответ приведите в метрах.

\(1)\) Находим фокусное расстояние линзы: \(F = \dfrac{1}{D} = \dfrac{1}{5} = 0.2 \space \text{м}\) \(2)\) Используем формулу тонкой линзы для нахождения расстояния до изображения: \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}\) \(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{0.2} -\dfrac{1}{0.5} = 5- 2 = 3 \space \text{м}^{-1}\) \(f = \dfrac{1}{3} \approx 0.333 \space \text{м}\) \(3)\) Из подобия треугольников находим высоту изображения: \(\dfrac{h}{H} = \dfrac{f}{d}\) \(h = H \cdot \dfrac{f}{d} = 0.09 \cdot \dfrac{0.333}{0.5} = 0.09 \cdot 0.666 = 0.06 \space \text{м}\) \(4)\) Или используем компактную формулу: \(h = \dfrac{H \cdot F}{d- F} = \dfrac{0.09 \cdot 0.2}{0.5- 0.2} = \dfrac{0.018}{0.3} = 0.06 \space \text{м}\) Ответ: \(0.06 \space \text{м}\) высота изображения карандаша.

Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу \(2\ \text{кг}.\) Шар наполняют гелием при атмосферном давлении \(p=10^5\ \text{Па}.\) Определите минимальную массу оболочки, при которой шар начнет поднимать сам себя. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна \(0^\circ\text{C}.\) \((\)Площадь сферы \(S=4\pi r^2,\) объем шара \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3.)\)

\(1)\) Обозначения. Плотность воздуха \(\rho_{\text{возд}} ,\) плотность гелия \(\rho_{\text{He}} .\) Масса оболочки равна \(m_{\text{об}}=bS,\) где \(b=2\ \text{кг/м}^2\) — удельная масса материала оболочки. Радиус шара обозначим \(r.\) \(2)\) Условие начала подъема (равенство выталкивающей силы и суммарного веса): \(\rho_{\text{возд}} g V = m_{\text{He}} g + m_{\text{об}} g\) откуда после сокращения на \(g\) получаем \(\rho_{\text{возд}} V = m_{\text{He}} + m_{\text{об}}\) \(3)\) Так как \(m_{\text{He}}=\rho_{\text{He}} V,\) то \(m_{\text{об}}=(\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}})\,V\) \(4)\) Подставим \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\) и \(m_{\text{об}}=b\cdot 4\pi r^2,\) получаем \(b\cdot 4\pi r^2=(\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}})\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3\) Сокращая \(4\pi r^2,\) находим радиус: \(r=\dfrac{3b}{\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}}}\) \(5)\) Плотности выражаем через уравнение состояния идеального газа \(\rho=\dfrac{pM}{R T} ,\) где \(M\) — молярная масса, \(R=8.31\ Дж/(моль·К) ,\) \(T=0^\circ\text{C}=273\ \text{К}.\) Тогда \(\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}}=\dfrac{p\,(M_{\text{возд}}-M_{\text{He}})}{R T}\) Подставляя это в формулу для \(r,\) получаем \(r=\dfrac{3 b R T}{p\,(M_{\text{возд}}-M_{\text{He}})}\) \(6)\) Численные данные: \(b=2\ \text{кг/м}^2,\) \(R=8{.}31\ Дж/(моль·К) ,\) \(T=273\ \text{К},\) \(p=10^5\ \text{Па},\) \(M_{\text{возд}}=0{.}029\ \text{кг/моль},\) \(M_{\text{He}}=0{.}004\ \text{кг/моль}.\) Тогда \(r=\dfrac{3\cdot 2\cdot 8{.}31\cdot 273}{10^5\cdot(0{.}029-0{.}004)}\approx \dfrac{13\,611.78}{2\,500}=5{.}4447\ \text{м}\) округленно \(r\approx 5{.}445\ \text{м}\) \(7)\) Масса оболочки при таком радиусе равна \(m_{\text{об}}=b\cdot 4\pi r^2=2\cdot 4\pi\cdot (5{.}4447)^2\approx 745\ \text{кг}\) Ответ: минимальная масса оболочки равна \(m_{\text{об}}\approx 745\ \text{кг}.\)