Серединный перпендикуляр
Когда тебя спросят про отрезки в треугольнике и его замечательные точки, то, скорее всего, ты резво назовёшь биссектрису, медиану, высоту и их точки пересечения. Почему-то ещё один крутой элемент всегда забывается и остаётся скромно стоять в сторонке — серединный перпендикуляр. Его ещё любят строить так, что он совпадает с высотой, а это заблуждение. Вообще серпер (назовём так наш серединный перпендикуляр, чтобы он нам наконец запомнился!) обладает очень полезным свойством…
Но давай по порядку, вспомним, кто такой этот серпер и причём тут вообще окружность.
Серединный перпендикуляр (он же серпер) — перпендикуляр, который проводят через середину отрезка. Всё просто. Но! Оказывается, что каждая точка этого серпера находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка.
Окружность, описанная вокруг треугольника и теорема синусов
Запомни, серпер ≠ высота и медиана. В общем случае он выглядит вот так:
А теперь представь, что будет, когда мы построим в треугольнике все три серпера к каждой стороне? Во-первых, они пересекутся в одной точке (это та самая четвёртая замечательная точка треугольника), во-вторых, эта точка будет равноудалена от всех концов отрезков, к которым построили серперы. А значит, она равноудалена от всех вершин треугольника! Понимаешь, к чему это ведёт?
Всё верно, это центр описанной окружности вокруг треугольника — единственной существующей окружности, на которой лежат все вершины. Причём построить её можно вокруг любого треугольника. Радиус обычно обозначается большой буквой R, ведь окружность тоже большая (а у вписанной окружности маленькая r).
Естественно, что с новым объектом приходят новые помощники в решении задач!
- Самое важное, что связывает треугольник и описанную окружность — теорема синусов, которая гласит:
- Спасибо теореме синусов, за то что подарила нам новую формулу площади! $$S=\frac{abc}{4R}$$
- В прямоугольном треугольнике легко запомнить, что центр всегда лежит на середине гипотенузы. Помнишь свойство, что медиана у него равна половине гипотенузы? Так вот тебе ещё одно наглядное доказательство этого факта, ведь медиана будет равна радиусу описанной окружности.
- Обращай внимание, что каждый угол треугольника становится вписанным, то есть будет равен половине дуги, на которую опирается.
Точки E, D, P, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные величины которых относятся как 3:8:7. Найти меньший угол треугольника EDP. Ответ запиши в градусах.
Решение:
1) Пусть x — одна из углов.
\[3x + 8x + 7x = 360^\circ\]
\[18x = 360^\circ\]
\[x = 20^\circ\]
2)
Т.K. угол EPD — вписанный, он равен половине \( \overset{\frown}{ED} \)
\[\overset{\frown}{ED} = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ \Rightarrow \angle EPD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ.\]
Угол меньший, т.к.
\( \overset{\frown}{ED} \) меньшая из трех.
Ответ: 30.
Высота правильного треугольника равна 18. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение:
Пусть O — центр окружности.
\[\Rightarrow \quad O \text{ — точка пересечения серединных перпендикуляров.}\]
Т.K. треугольник ABC — правильный, то O также точка пересечения медиан.
\[\frac{BO}{OH} = \frac{2}{1} \quad (\text{по св-ву медиан})\]
Рассчитаем
\( R = OB \):
\[R = OB = 18 : 3 \cdot 2 = 12.\]
Ответ: 12.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 68. Найти радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение:
Т.K. центр описанной окружности O лежит на середине гипотенузы AB, то
\[R = \frac{68}{2} = 34.\]
Ответ: 34.
Сторона AB треугольника ABD равна 22√2. Противолежащий ей угол D равен 135°. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение:
Сторону и противолежащий угол связывает теорема синусов:
\[\frac{AB}{\sin D = 2R.}\]
\[\sin 135^\circ = \sin(180^\circ — 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]
Теперь решим:
\[\frac{22\sqrt{2}}{2} = 22 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 44.\]
Таким образом,
\[44 = 2R \Rightarrow R = 22.\]
Ответ: 22.
Четырёхугольники и описанная окружность
Если вокруг четырёхугольника можно описать окружность, тогда суммы его противоположных углов равны (более того, они будут по 180 градусов). Это, кстати, теорема и она ещё работает в обратную сторону: если противоположные углы в сумме дают 180 градусов, то вокруг четырёхугольника можно описать окружность.
Описать окружность можно вокруг произвольного четырёхугольника, если выполняется теорема выше.
А самые популярные описанные четырёхугольники — прямоугольник, квадрат и равнобедренная трапеция (внимание на противоположные углы).
Угол A четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 115°. Найти угол C этого четырёхугольника. Ответ запиши в градусах.
Решение:
Т.K. ABCD — вписанный четырехугольник, то
\[\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ.\]
\[115^\circ + \angle C = 180^\circ.\]
Следовательно,
\[\angle C = 65^\circ.\]
Ответ: 65.
Четырёхугольник RSED вписан в окружность. Угол RSE равен 161°, угол RSD равен 109°. Найти угол ERD. Ответ запиши в градусах.
Решение:
\[\angle RSE = \angle RSD + \angle DSE\]
\[161^\circ = \angle RSD + 109^\circ\]
\[\angle RSD = 52^\circ.\]
2)
\( \angle ERD \) — вписанный, тогда
\[\angle ERD = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{ED}.\]
Поскольку угол RSD также вписанный и опирается на ту же дугу ED, то
\[\angle RSD = \angle ERD = 52^\circ.\]
Ответ: 52.
Многоугольники и описанная окружность
При решении задач на вписанные в окружность n-угольники ты будешь иметь дело с правильными пяти-шести и т.д. угольниками. При слове «правильный» у тебя в голове сразу должно всплывать: все стороны и углы равны.
Периметр правильного шестиугольника равен 264. Найдите диаметр описанной окружности.
Решение:
Дано:
\( P = 264 \).
Пусть x — сторона.
\[P = 6x = 264 \Rightarrow x = 44.\]
Вспомним тот факт, что правильный шестиугольник всеми диагоналями делится на 6 правильных треугольников, тогда
\[AB = 2x = 88.\]
Ответ: 88.
Вот и всё, что тебе необходимо знать для решения задач по теме «Описанная окружность» в №1 профиля по математике. Главное, запомни и не путай теоремы для вписанной и описанной окружностей: смотри чего она касается — про то и теорема. В нашем случае, лежат на ней вершины углов — значит, теорема связана с углами.
Автор:
Фролов Павел, методист «100балльного репетитора» по математике ЕГЭ
Подготовься к ЕГЭ на все 100
Скоро новый сезон! Ты с нами? Всем ученикам 100Б
даём самую низкую
цену на годовой курс 2025–2026.
Предложение ограничено.
Начать подготовку
