Постоянную массу идеального одноатомного газа изобарно сжали так, что его температура изменилась по закону \(T_2 = \frac{T_1}{k}.\) Затем этот же газ адиабатически расширяется, при этом его температура изменяется до \(T_3 = \frac{T_2}{2}.\) Известно, что отношение модулей работ в изобарном и адиабатическом процессах равно \(n = 4.\) Найдите значение параметра \(k.\)

Изобарное сжатие. Работа, совершаемая над газом при изобарном сжатии: \(A_1 = p|\Delta V|\)Используем уравнение Менделеева — Клапейрона для начального и конечного состояний: \(pV_1 = vRT_1, \quad pV_2 = vRT_2\)где \(T_2 = \frac{T_1}{k}.\) Изменение объема: \(V_1- V_2 = \frac{vR}{p}(T_1- T_2)\)Подставляем в выражение для работы: \(A_1 = p(V_1- V_2) = vR(T_1- T_2) = vR\left(T_1- \frac{T_1}{k}\right) = \frac{k-1}{k}vRT_1\) Адиабатическое расширение. Для адиабатического процесса \(( Q = 0 )\) работа газа равна изменению внутренней энергии с противоположным знаком: \(A_2 = -\Delta U\)Внутренняя энергия идеального одноатомного газа: \(\Delta U = \frac{3}{2}vR(T_3- T_2)\)Подставляем \(T_3 = \frac{T_2}{2} = \frac{T_1}{2k}\): \(A_2 = \frac{3}{2}vR(T_2- T_3) = \frac{3}{2}vR\left(\frac{T_1}{k} — \frac{T_1}{2k}\right) = \frac{3}{4k}vRT_1\) Отношение работ. По условию: \(\frac{A_1}{A_2} = 4\)Подставляем выражения для \(A_1\) и \(A_2\): \(\frac{\frac{k-1}{k}vRT_1}{\frac{3}{4k}vRT_1} = 4\)Упрощаем: \(\frac{4(k-1)}{3} = 4 \implies k-1 = 3 \implies k = 4\) Ответ: \(k = 4.\)

Стержень с током силой \(I = 4 \space \text{A},\) находящийся в однородном магнитном поле с индукцией \(B = 0.2 \space \text{Тл},\) движется с ускорением \(a = 1.9\space \text{м/с}^2\) вверх по наклонной плоскости, образующей угол \(\alpha = 30^\circ\) с горизонтом. Найдите отношение массы стержня к его длине. Трением пренебречь.

\(1.\) На стержень действуют три силы: сила тяжести \(mg\), сила Ампера \(F_A = BIl\) \((\) так как \(\sin 90^\circ = 1)\) и сила реакции опоры \(N.\) \(2.\) По второму закону Ньютона записываем уравнение движения в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости вверх: \(ma = -mg \sin \alpha + F_A \cos \alpha\) \(3.\) Подставляем выражение для силы Ампера: \(ma = -mg \sin \alpha + BIl \cos \alpha\) \(4.\) Переносим слагаемые и выражаем отношение массы к длине: \(\frac{m}{l} = \frac{BI \cos \alpha}{a + g \sin \alpha}\) \(5.\) Подставляем числовые значения: \(B = 0.2 \space \text{Тл},\) \(I = 4 \space \text{A},\) \(\alpha = 30^\circ,\) \(a = 1.9 \space \text{м/с}^2,\) \(g = 10 \space \text{м/с}^2{:}\) \(\frac{m}{l} = \frac{0.2 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ}{1.9 + 10 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{0.8 \cdot 0.866}{1.9 + 5} = \frac{0.6928}{6.9} \approx 0.1 \space \text{кг/м}\) Ответ: отношение массы стержня к его длине равно \(0.1 \space \text{кг/м}.\)

Брусок опирается на массивную горизонтальную доску массы \(M = 0.8 \, \text{кг},\) которая лежит на шероховатой горизонтальной плоскости. Брусок и доска связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый и гладкий блок. Под действием горизонтальной силы \(F = 6 \, \text{Н}\) доска движется поступательно вправо, в результате чего брусок приобретает ускорение \(a = 1 \, \text{м/с}^2.\) Найдите массу бруска \(m,\) если коэффициент трения между бруском и доской \(\mu_1 = 0.5,\) а между доской и поверхностью — \(\mu_2 = 0.3.\) Сделайте рисунок, укажите все силы, действующие на груз и доску. Какие законы Вы использовали для описания движения тел и блоков? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

Обоснование: Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной. Брусок и доска движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки. В инерциальной системе отсчета движение материальной точки описывается вторым законом Ньютона. Нить невесома, а блок идеальный (без трения), поэтому сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока: \(T_1 = T_2 = T.\) Нить нерастяжима, поэтому ускорения бруска и доски равны по модулю: \(a_1 = a_2 = a.\) Силы трения скольжения определяются как \(F_{тр1} = \mu_1 N_1\) (между бруском и доской) и \(F_{тр2} = \mu_2 N_2\) (между доской и поверхностью). Силы, действующие на тела. На брусок: — Сила тяжести: \(m\vec{g}\) (вниз). — Сила натяжения нити: \(\vec{T}\) (вправо). — Сила реакции опоры: \(\vec{N}1\) (вверх). — Сила трения между бруском и доской: \(\vec{F}{тр1}\) (влево). На доску: — Сила тяжести: \(M\vec{g}\) (вниз). — Вес бруска (по третьему закону Ньютона): \(\vec{P} = -\vec{N}1\) (вниз). — Сила натяжения нити: \(\vec{T}\) (влево). — Сила трения между доской и поверхностью: \(\vec{F}{тр2}\) (влево). — Внешняя сила: \(\vec{F}\) (вправо). — Сила реакции опоры стола: \(\vec{N}_2\) (вверх). Запишем второй закон Ньютона в проекциях. Для бруска \(( m )\): \(Ox: ma = T- F_{тр1}\) \(Oy: 0 = N_1- mg\) Для доски \((M)\): \(Ox: Ma = F- F_{тр1}- F_{тр2}- T\) \(Oy: 0 = N_2- N_1- Mg\)Выразим силы трения: \(F_{тр1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 mg\) \(F_{тр2} = \mu_2 N_2 = \mu_2 (N_1 + Mg) = \mu_2 (mg + Mg)\) Подставим \(F_{тр1}\) и \(F_{тр2}\) в уравнения: \(ma = T- \mu_1 mg \quad (1)\)\(Ma = F- \mu_1 mg- \mu_2 (m + M)g- T \quad (2)\) Сложим уравнения \((1)\) и \((2),\) чтобы исключить \(T\): \(ma + Ma = F- \mu_1 mg- \mu_2 (m + M)g- \mu_1 mg\) Упростим: \(a(m + M) = F- 2\mu_1 mg- \mu_2 (m + M)g\) Выразим \(m\): \(m(a + 2\mu_1 g + \mu_2 g) = F- M(a + \mu_2 g)\) \(m = \frac{F- M(a + \mu_2 g)}{a + g(2\mu_1 + \mu_2)}\) Подставим числовые значения: \(m = \frac{6- 0.8(1 + 0.3 \cdot 10)}{1 + 10(2 \cdot 0.5 + 0.3)} = \frac{6- 0.8 \cdot 4}{1 + 10 \cdot 1.3}\) \(= \frac{6- 3.2}{1 + 13} = \frac{2.8}{14} = 0.2 \, \text{кг}\) Ответ: масса бруска \(m = 0.2 \, \text{кг}.\)

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени. Какой путь пройден телом за вторую секунду? (Ответ дайте в метрах).

\(1.\) Анализируем график на интервале от \(1\space с\) до \(2\space с{:}\) Скорость постоянна и равна \(2\spaceм/с.\) Движение равномерное. \(2.\) Вычисляем путь как площадь прямоугольника:\(S = 2 \cdot (2-1) = 2 \text{ м}\)

Тело массой \(m = 2\space кг\) движется вдоль оси \(O_x.\) На рисунке представлен график зависимости проекции скорости \(v_x\) этого тела от времени \(t.\) Чему равен модуль проекции силы \(F_x,\) действующей на это тело в течение первой секунды движения? Ответ запишите в ньютонах.

\(1.\) Из графика видно, что в течение первых двух секунд движение тела равноускоренное. \(2.\) Найдем ускорение тела за первую секунду: \(a_x = \frac{v_x-v_{0x}}{t} = \frac{0-(-2)}{1} = 2 \text{ м/с}^2\) \(3.\) По второму закону Ньютона вычислим модуль проекции силы:\(F_x = m \cdot a_x = 2 \cdot 2 = 4 \text{ Н}\)