Ион ускоряется в электрическом поле с разностью потенциалов \(U = 10 \space \text{кВ}\) и попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно к вектору его индукции. Радиус траектории движения иона в магнитном поле \(R = 0.2\space \text{м},\) модуль индукции магнитного поля равен \(0.5\space \text{Тл}\). Определите отношение массы иона к его электрическому заряду \(\dfrac{m}{q}.\) Кинетической энергией иона при его вылете из источника пренебрегите.

\(1.\) При ускорении в электрическом поле ион приобретает кинетическую энергию. По теореме об изменении кинетической энергии работа электрического поля равна изменению кинетической энергии. Учитывая, что начальной кинетической энергией можно пренебречь: \(qU = \frac{mv^2}{2}\) Отсюда получаем: \(v^2 = 2U \cdot \frac{q}{m}\) \(2.\) В магнитном поле на ион действует сила Лоренца. По второму закону Ньютона сила Лоренца создает центростремительное ускорение: \(Bqv = m \frac{v^2}{R}\) Упрощаем выражение: \(v = \frac{BqR}{m}\) Возводим в квадрат: \(v^2 = \left( \frac{q}{m} \right)^2 B^2 R^2\) \(3.\) Приравниваем выражения для \(v^2\) из первого и второго шагов: \(2U \cdot \frac{q}{m} = \left( \frac{q}{m} \right)^2 B^2 R^2\) Делим обе части на \(\dfrac{q}{m}\): \(2U = \frac{q}{m} B^2 R^2\) Выражаем искомое отношение: \(\frac{m}{q} = \frac{B^2 R^2}{2U}\) \(4.\) Подставляем числовые значения: \(B = 0.5 \space \text{Тл},\) \(R = 0.2 \space \text{м},\) \(U = 10\space000 \space \text{В}{:}\) \(\frac{m}{q} = \frac{(0.5)^2 \cdot (0.2)^2}{2 \cdot 10\space000} = \frac{0.25 \cdot 0.04}{20\space000} = \frac{0.01}{20\space000} = 5 \cdot 10^{-7} \space \text{кг/Кл}\) Ответ: отношение массы иона к его заряду равно \(5 \cdot 10^{-7} \space \text{кг/Кл}.\)

Система грузов \(M,\) \(m_1\) и \(m_2,\) показанная на рисунке, движется из состояния покоя. Поверхность стола — горизонтальная гладкая. Коэффициент трения между грузами \(M\) и \(m_1\) равен \(\mu = 0.2.\) Грузы \(M\) и \(m_2\) связаны легкой нерастяжимой нитью, которая скользит по блоку без трения. Пусть \(M = 1.2 \, \text{кг},\) \(m_1 = m_2 = m.\) При каких значениях \(m\) грузы \(M\) и \(m_1\) движутся как одно целое? Какие законы Вы использовали для описания движения системы грузов? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

Обоснование: Систему отсчета, связанную со столом, считаем инерциальной. Грузы \(M\) и \(m_1\) движутся как одно целое, поэтому их можно рассматривать как одно тело массой \(M + m.\) Тело движется поступательно, как и груз \(m_2,\) поэтому их можно описывать моделью материальной точки. В инерциальной системе отсчета движение материальной точки описывается вторым законом Ньютона. Нить легкая и нерастяжимая, поэтому \(T_1 = T_2 = T.\) Ускорения тел равны: \(a_1 = a_2 = a.\) Груз \(m_1\) покоится относительно \(M,\) поэтому сила трения покоя удовлетворяет условию \(F_{тр} \leq \mu N_1.\) Запишем второй закон Ньютона для системы: Для тела \(M + m\):\((M + m)a = T\)Для груза \(m_2\): \(ma = mg- T\)Складываем уравнения: \((M + 2m)a = mg\) Отсюда ускорение:\(a = \frac{mg}{M + 2m}\) Условие для груза \(m_1.\) Второй закон Ньютона для \(m_1\): \(ma = F_{тр}\) \(N_1 = mg\)Условие трения покоя: \(F_{тр} \leq \mu N_1\) \(ma \leq \mu mg\)Подставляем выражение для \(a\): \(\frac{m^2 g}{M + 2m} \leq \mu m g\) Упрощаем: \(\frac{m}{M + 2m} \leq \mu\) Решаем неравенство относительно \(m\): \(m \leq \frac{\mu M}{1- 2\mu} = \frac{0.2 \cdot 1.2}{1- 0.4} = \frac{0.24}{0.6} = 0.4 \, \text{кг}\) Ответ: грузы \(M\) и \(m_1\) движутся как одно целое при \(m \leq 0.4 \, \text{кг}.\)

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости автомобиля от времени. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале от момента времени \(0\spaceс\) до момента времени \(5\spaceс\) после начала отсчета времени. (Ответ дайте в метрах)

\(1.\) Разбиваем движение на участки: \(0-1\spaceс{:}\) равноускоренное движение \(1-2\spaceс{:}\) равномерное движение \(2-4\spaceс{:}\) равноускоренное движение \(4-5\spaceс{:}\) равномерное движение \(2.\) Вычисляем путь на каждом участке: \(0-1\space с\) (треугольник): \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \text{ м}\) \(1-2\space с\) (прямоугольник): \(S_2 = 2 \cdot 1 = 2 \text{ м}\) \(2-4\space с\) (трапеция): \(S_3 = \frac{1}{2} \cdot (2 + 6) \cdot 2 = 8 \text{ м}\) \(4-5\space с\) (прямоугольник): \(S_4 = 6 \cdot 1 = 6 \text{ м}\) Суммарный путь: \(S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 1 + 2 + 8 + 6 = 17 \text{ м}\)

На полу лифта, разгоняющегося вверх с постоянным ускорением \(a = 1\space м/с^2,\) лежит груз массой \(m = 5\space кг.\) Каков вес этого груза? Ответ выразите в ньютонах.

\(1.\) Вес \(P\) — это сила, с которой тело давит на опору. По третьему закону Ньютона вес равен по модулю силе реакции опоры \(N\): \(P = N\) \(2.\) На груз действуют две силы:сила тяжести \(F_{тяж} = m \cdot g = 5 \cdot 10 = 50\space Н\) (вниз) сила реакции опоры \(N\) (вверх) \(3.\) Запишем второй закон Ньютона для груза, который движется вверх с ускорением \(a\): \(N-m \cdot g = m \cdot a\) \(4.\) Выразим силу реакции опоры: \(N = m \cdot g + m \cdot a = m \cdot (g + a)\) \(5.\) Подставим числовые значения: \(N = 5 \cdot (10 + 1) = 5 \cdot 11 = 55 \text{ Н}\) \(6.\) Следовательно, вес груза равен: \(P = N = 55 \text{ Н}\)

Тело, брошенное вертикально вверх от поверхности Земли, достигло максимальной высоты \(20\,\text{м}\). С какой начальной скоростью тело было брошено вверх? (Ответ дайте в метрах в секунду.) Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения считать равным \(10\,\text{м/с}^2\).

Закон сохранения энергии: В момент броска тело обладает кинетической энергией, а на максимальной высоте — потенциальной. По закону сохранения энергии: \(E_{\text{кин нач}} = E_{\text{пот макс}},\) где \(E_{\text{кин нач}} = \frac{mv^2}{2}, \quad E_{\text{пот макс}} = mgh.\) 2. Уравнение для начальной скорости: Приравняем энергии: \(\frac{mv^2}{2} = mgh.\) Масса \(m\) сокращается: \(\frac{v^2}{2} = gh.\) Выразим начальную скорость \(v\): \(v = \sqrt{2gh}.\) 3. Подстановка данных: Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\), высота \(h = 20\,\text{м}\): \(v = \sqrt{2 \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 20\,\text{м}} = \sqrt{400} = 20\,\text{м/с}.\)